INTRODUCCION
Según Vergnaud el concepto conocimiento científico es obtenido a través
de la interacción entre el dominio conceptual y el metodológico y son las situaciones las que dan sentido a los
conceptos; un concepto se vuelve significativo a través de una variedad de
situaciones, los conocimientos de los estudiantes son fabricados por las
situaciones que encuentran y gradualmente dominan (Vergnaud, G. 1987). El
propio Vergnaud dice que "la
adquisición del conocimiento es moldeada por las situaciones y problemas
previamente dominados y, por lo tanto, el conocimiento del sujeto tiene muchos
aspectos locales"[1].
Para Vergnaud, la problematización va más allá de la abstracción de
regularidades del mundo observable y los problemas son teóricos - prácticos,
y empíricos y que cuando un tipo de
problemas es resuelto por una persona, significa que ella desarrolla un esquema
eficiente para abordarlos, el carácter problemático de esa clase en particular
desaparece (ibid.). La teoría de Vergnaud es, un buen referente, para analizar
las dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas en
matemáticas, y por lo tanto de su conceptualización. Dichas dificultades
podrían, ser examinadas con base en los invariantes operatorios, o sea, con
base en cuáles son los conceptos y teoremas-en-acción que los estudiantes
estarían usando para la resolución de problemas y que tan lejos estarían de los
conceptos y teoremas científicos adecuados a la resolución del problema
planteado (Vergnaud, G. 1993.. p. 1-26.).
Esta teoría toma como referencia el propio contenido del conocimiento y
el análisis conceptual del dominio de ese conocimiento (Vergnaud, 1994, p.41;
Franchi, 1999, p.160). Vergnaud, dice “Piaget
no tuvo en cuenta que el desarrollo cognitivo depende de situaciones y
conceptualizaciones específicas necesarias para batallar con ellas”[2].
“Piaget no percibió lo ineficaz que es intentar reducir la complejidad
conceptual, progresivamente dominada por los niños, hacia algún tipo de
complejidad lógica general”[3].
Vergnaud reclama, que, “Piaget no
trabajó en el salón de clase enseñando matemáticas y ciencias y que en el
momento en que nos interesamos por aquello que sucede en el salón de clases,
necesariamente estamos obligados a interesarnos por el contenido del
conocimiento”[4].
Vergnaud reconoce la importancia de la teoría de Piaget, destacando las “ideas de adaptación, desequilibración
y reequilibración como una tripla para la investigación en didáctica de
las Ciencias y de la Matemática. Vergnaud cree que el aporte fundamental de
Piaget fue el concepto de esquema”[5].
Tal concepción, es esencial en la teoría de Vergnaud.
Vergnaud reconoce que sus campos conceptuales fueron desarrollados a
partir de los aportes de Vygotsky. Dice que “la importancia atribuida a la interacción social, al lenguaje y a la
simbolización en el progresivo dominio de un campo conceptual por los
estudiantes. Para el docente, es difícil proveer oportunidades a los
estudiantes para que desarrollen sus esquemas en la zona de desarrollo próximo[6].
“Campo conceptual es un conjunto informal y
heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras,
contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y,
probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición“[7].
“El dominio de un campo conceptual no ocurre en
algunos meses, ni tampoco en algunos años. Por el contrario, nuevos problemas y
nuevas propiedades se deben estudiar a lo largo de muchos años si pretendemos
que los estudiantes los dominen. No sirve de nada bordear las dificultades
conceptuales; más bien ellas son superadas en la medida en que se detectan y
enfrentan, pero esto no ocurre de una sola vez“[8].
“La teoría de los campos conceptuales supone que el desarrollo cognitivo es la
conceptualización”[9].
Considero que la
conceptualización es lo más importante
de la cognición.
Con relación a esto vergnaud afirma: “se debe poner toda la atención a los aspectos conceptuales de los
esquemas y al análisis conceptual de las situaciones para las cuales los estudiantes
desarrollan sus esquemas”[10].
Y además dice: “No es, una teoría de enseñanza de conceptos explícitos y
formalizados. Se trata de una teoría psicológica del proceso de
conceptualización de lo real que permite localizar y estudiar continuidades y rupturas
entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido conceptual”[11].
Dice: “en
el estudio de este proceso, cualquier reduccionismo es peligroso en la medida
en que la conceptualización de lo real es específica del contenido y no puede
ser reducida ni a las operaciones lógicas generales, ni a las operaciones
puramente lingüísticas, ni a la reproducción social, ni a la emergencia de
estructuras innatas, ni, en fin, al modelo del procesamiento de la información”[12].
Como se puede vislumbrar, la teoría de los campos conceptuales, es una
teoría compleja, Vergnaud dice: “esta
teoría envuelve la complejidad emanada de la necesidad de abarcar en una única
perspectiva teórica, todo el desarrollo de situaciones progresivamente
controladas, de conceptos y teoremas necesarios para operar eficientemente en
esas situaciones, y de las palabras y símbolos que pueden representar
eficazmente esos conceptos y operaciones para los estudiantes, dependiendo de
sus niveles cognitivos y las concepciones
importantes de la teoría de los campos conceptuales son: el concepto de campo conceptual, los conceptos de esquema (la gran herencia piagetiana
de Vergnaud), situación, invariante
operatorio (teorema-en-acción
o concepto-en-acción), y su
propia concepción de concepto”[13].
“Un conjunto de problemas y situaciones cuyo tratamiento
requiere conceptos, procedimientos y representaciones de tipos diferentes pero
íntimamente relacionados”[14].
En otros trabajos, “Vergnaud
define campo conceptual como, en primer lugar, un conjunto de situaciones cuyo
dominio requiere, a su vez, el dominio de varios conceptos de naturaleza
distinta”[15].
Los tres argumentos siguientes lo llevaron, al concepto de campo
conceptual: “un concepto no se forma
dentro de un solo tipo de situaciones; una situación no se analiza con un solo
concepto; la construcción y apropiación de todas las propiedades de un concepto
o de todos los aspectos de una situación es un proceso de largo aliento que se
extiende a lo largo de los años, a veces de una decena de años, con analogías y
mal entendidos entre situaciones, entre conceptos, entre procedimientos, entre
significantes”[16].
Para Vergnaud un campo conceptual es: “unidad de estudio para dar sentido a las dificultades observadas en la
conceptualización de lo real; la teoría de los campos conceptuales supone que
la conceptualización es la esencia del desarrollo cognitivo. Más allá de los ya
citados campos conceptuales de las estructuras aditivas y multiplicativas,
otros campos conceptuales, interfiriendo con los dos anteriores, incluyen:
desplazamientos y transformaciones espaciales; clasificaciones de objetos y
aspectos discretos; movimientos y relaciones entre tiempo, velocidad,
distancia, aceleración y fuerza; relaciones de parentesco; mediciones de
cantidades espaciales y físicas continuas”[17].
Evidentemente, esos campos conceptuales no son independientes y unos
pueden ser importantes para la comprensión de otros, pero aun así, Vergnaud
considera “útil hablar de distintos
campos conceptuales si ellos pueden ser explicados consistentemente. Él cree
imposible estudiar las entes separadamente, por eso mismo, es preciso hacer
fragmentos y es en ese sentido que los campos conceptuales son unidades de
estudio fructíferas para dar sentido a los problemas de adquisición y a las
observaciones hechas en relación a la conceptualización”[18].
Como el núcleo del desarrollo cognitivo es la conceptualización,
Vergnaud dice: “es preciso prestar
atención a los aspectos conceptuales de los esquemas y al análisis conceptual
de las situaciones en las cuales los estudiantes desarrollan sus esquemas en la
escuela o en la vida real. Esto nos lleva al concepto de concepto en la
teoría de los campos conceptuales”[19]
Conceptos
Vergnaud precisa concepto como una tripla de conjuntos
(Vergnaud,1983 0a, p. 393; 1988, p. 141; 1990, p. 145; 1993, p. 8; 1997, p. 6),
C = (S, I, R) donde: S es un conjunto de situaciones que dan
sentido al concepto; I es un conjunto de invariantes (objetos,
propiedades y relaciones) sobre las cuales reposa la operacionalidad del
concepto, o un conjunto de invariantes que pueden ser reconocidos y usados por
los sujetos para analizar y dominar las situaciones del primer conjunto; R
es un conjunto de representaciones simbólicas (lenguaje natural, gráficos y
diagramas, sentencias formales, etc.) que pueden ser usadas para indicar y
representar esos invariantes y, consecuentemente, representar las situaciones y
los procedimientos para lidiar con ellas. S o conjunto de situaciones,
es el referente del concepto, I el conjunto de invariantes
operatorios, es el significado del concepto, R el conjunto de
representaciones simbólicas, es el significante.
Una definición pragmática considera un
concepto como: “un
conjunto de invariantes utilizables en la acción, pero esta definición implica
también un conjunto de situaciones que constituyen el referente y un conjunto
esquemas puestos en acción por los sujetos en esas situaciones. De ahí, que la
tripla (S, I, R), en
términos psicológicos, S es la realidad e (I, R) la
representación que puede ser considerada como dos aspectos interactuantes de
pensamiento, el significado I y el significante R”[20].
Lo anterior implica que para estudiar un concepto, a lo largo del aprendizaje o
de su utilización, es necesario considerar esos tres conjuntos simultáneamente.
“No hay en general, correspondencia
biunívoca, entre significantes y significados, ni entre invariantes y
situaciones; no se puede, por lo tanto, reducir el significado ni a los
significantes ni a las situaciones”[21]
. Por otro lado, como fue dicho, “un
único concepto no se refiere a un solo
tipo de situación y una única situación no puede ser analizada con un solo
concepto. Por todo eso, es necesario hablar de campos conceptuales. Pero si los
conceptos se vuelven significativos a través de situaciones resulta,
naturalmente, que las situaciones y no los conceptos constituyen la principal
entrada en un campo conceptual. Un campo conceptual es, en primer lugar, un
conjunto de situaciones, cuyo dominio requiere el dominio de varios conceptos
de distinta naturaleza”[22].
Situaciones
El concepto de situación para Vergnaud es el de tarea, dice: “toda situación compleja puede ser analizada
como una combinación de tareas, para las cuales es importante conocer sus
naturalezas y dificultades propias. La dificultad de una tarea no es ni la suma
ni el producto de las diferentes subtareas involucradas, pero es claro que el
desempeño en cada subtarea afecta el desempeño global”[23].
Vergnaud recurre al sentido que, según él (op. cit., p. 150 y p. 12), es
imputado por los psicólogos al concepto de situación: los procesos cognitivos y
las respuestas del sujeto son función de las situaciones con las cuales es cotejado.
“Muchas de nuestras ideas vienen de las
primeras situaciones que fuimos capaces de dominar o de nuestra experiencia al
intentar modificarlas”[24].
Como fue dicho antes, las situaciones son las que dan sentido al concepto; son
las situaciones las responsables por el sentido atribuido al concepto (Barais
& Vergnaud, 1990, p.78); “un concepto
se vuelve significativo a través de una variedad de situaciones, pero el
sentido no está en las situaciones en sí mismas, así como no está en las
palabras ni en los símbolos”[25].
El sentido es una relación del estudiante con las situaciones y con los
significantes, son los esquemas, o sea, los comportamientos, y su organización,
recordados en el estudiante por una situación o por un significante
(representación simbólica) que constituyen el sentido de esa situación o de ese
significante para ese estudiante (Vergnaud, 1990, p. 158; 1993, p. 18).
Esquemas
Vergnaud llama esquema a la organización invariante del comportamiento
para una determinada clase de situaciones (Vergnaud, 1990, p. 136; 1993, p. 2;
1994, p. 53; 1996 c, p. 201; 1998, p. 168). Según él, es en los esquemas o
heurísticas que se deben investigar los conocimientos en acción del estudiante,
es decir, los elementos cognitivos que hacen que la acción del estudiante sea
operatoria. “Esquema es el concepto
introducido por Piaget para hablar de las formas de organización como de las
habilidades sensorio-motoras y de las habilidades intelectuales, un esquema
genera acciones y debe contener reglas, pero no es un estereotipo porque la
secuencia de acciones depende de los parámetros de la situación”[26].
“Un esquema es un universal eficiente para toda una
gama de situaciones y puede generar diferentes secuencias de acción, de
colección de informaciones y de control, dependiendo de las características de
cada situación particular. No es el comportamiento que es invariante, pero sí
la organización del comportamiento”[27].
Los algoritmos, son esquemas, pero no todos los esquemas son algoritmos.
Cuando los algoritmos se manejan repetidamente para tratar las mismas
situaciones, se transforman en esquemas ordinarios o hábitos (op. cit. p. 176).
Vergnaud dice: “los esquemas
necesariamente se refieren a situaciones, a tal punto que, según él, debería
hablarse de interacción
esquema-situación en vez de interacción
sujeto – objeto como hablaba Piaget”[28].
De esto se deriva que el desarrollo cognitivo consiste principalmente,
en el desarrollo de un amplio repertorio de esquemas.
La definición de esquema dada por Vergnaud es precisa
pero la explicita para facilitar su comprensión a través de lo que llama los ingredientes
de los esquemas (Vergnaud, 1990, p. 136, 142; 1994, p. 46; 1996 a, p. 113-114;
1996 b, p. 11; 1996 c, p. 201-202-206; 1998, p. 173), estos son:
1. metas y anticipaciones (un esquema se dirige siempre a una clase de situaciones
en las cuales el sujeto puede descubrir una posible finalidad de su actividad
y, eventualmente, submetas; puede también esperar ciertos efectos o ciertos
eventos);
2. reglas de acción del tipo “si... entonces” que constituyen la parte verdaderamente
generadora del esquema, aquella que permite la generación y la continuidad de
secuencias de acciones del sujeto; son reglas de búsqueda de información y de
control de los resultados de acción;
3. invariantes operatorios (teoremas-en-acción y conceptos-en-acción) que
dirigen el reconocimiento, por parte del individuo, de los elementos
pertinentes de la situación; son los conocimientos contenidos en los esquemas;
son aquellos que constituyen la base, implícita o explícita, que permite
obtener la información pertinente y de ella inferir la meta a alcanzar y las
reglas de acción adecuadas;
4. Posibilidades de inferencia (o razonamientos) que permiten “calcular”, “aquí y
ahora”, las reglas y anticipaciones a partir de las informaciones e invariantes
operatorios que dispone el sujeto, o sea, toda actividad implicada en los otros
tres ingredientes requiere cálculos “aquí e inmediatamente” para esta
situación.
Como se ha dicho, para Vergnaud los esquemas se refieren necesariamente
a situaciones o clase de situaciones, donde él (Vergnaud,1993, p. 2) distingue
entre:
·
Clases de situaciones
en las que el sujeto dispone –
dentro de su repertorio, en un momento dado de su desarrollo y bajo ciertas
circunstancias – de las competencias necesarias al tratamiento relativamente inmediato
de la situación.
·
Clase de situaciones
en las que el sujeto no dispone de
todas las competencias necesarias, que le abrigan a un tiempo de reflexión y
exploración, a vacilaciones, a tentativas frustradas, llevando eventualmente al
éxito o a un fracaso.
Según Vergnaud (ibid.), el
concepto de esquema no funciona del mismo modo en las dos clases de situaciones.
“En la primera de ellas, se observa, para
una misma clase de situaciones, conductas ampliamente automatizadas,
organizadas por un solo esquema en tanto que para la segunda se observa la
sucesiva utilización de varios esquemas que pueden entrar en competencia y que,
para atender a la meta deseada, deben ser acomodados, desarticulados y
recombinados. De manera general, todas las conductas admiten una parte
automatizada y una parte de decisión consciente. Los esquemas son
frecuentemente eficaces pero no siempre efectivos. Cuando los sujetos usan un
esquema ineficaz para cierta situación, la experiencia los lleva a cambiar de
esquema o a modificar el esquema”[29].
En una situación nueva para el estudiante se pueden usar varios esquemas
simultáneamente (Vergnaud, 1990, p .140). “Las
conductas en una situación dada reposan sobre el repertorio inicial de esquemas
que el sujeto dispone. Como ya fue dicho, el desarrollo cognitivo puede ser
interpretado como consistiendo, en el desarrollo de un vasto repertorio de
esquemas afectando esferas muy distintas de la actividad humana. Desde el punto
de vista teórico, el concepto de esquema proporciona el vínculo indispensable
entre la conducta y la representación”[30],
“la relación entre situaciones y esquemas
es la fuente primaria de la representación y, por lo tanto de la
conceptualización”[31].
Por otro lado, la articulación esencial entre teoría y práctica, la hacen
los invariantes operatorios, “la
percepción, la búsqueda y la selección de información se basan enteramente en
el sistema de conceptos-en-acción disponibles
para el sujeto (objetos, atributo, relaciones, condiciones, circunstancias...)
y en los teoremas-en-acción
subyacentes a su conducta”[32].
“Las expresiones concepto-en-acción y
teorema-en-acción designan los conocimientos contenidos en los esquemas. Son
también designados, por Vergnaud, por la expresión más global de invariantes operatorios. Teorema-en-acción es una proposición
considerada como verdadera sobre lo real; concepto-en-acción es una categoría
de pensamiento considerada como pertinente (ibid.). Estos ingredientes –
metas y anticipaciones, reglas de acción, invariantes operatorios y
posibilidades de inferencia – los invariantes operatorios, o sea, los
conocimientos-en-acción (conceptos y
teoremas-en-acción) constituyen la base conceptual, implícita o explícita que
permiten obtener la información pertinente y, a partir de ella y de la meta a
atender, inferir las reglas de acción más pertinentes para abordar una
situación”[33].
Invariantes operatorios
“Desígnense por las expresiones “concepto-en-acción” y “teorema-en-acción” a los
conocimientos contenidos en los esquemas. También se puede designarlos por la
expresión más abarcativa “invariantes
operatorios””[34].
“Esquema es la organización, de la conducta para una
cierta clase de situaciones; teoremas-en-acción y conceptos-en-acción son
invariantes operacionales, luego, son componentes esenciales de los esquemas”[35] y determinan las diferencias entre ellos.
Teorema-en-acción es una proposición sobre lo real considerada como verdadera.
Concepto-en-acción es un objeto, un predicado, o una categoría de pensamiento considerada
como pertinente, relevante (Vergnaud, 1996 c, p. 202; 1998, p. 167).
“Conceptos-en-acción son ingredientes
necesarios de las proposiciones. Pero los conceptos no son teoremas, pues no
permiten derivaciones (inferencias o computaciones); las derivaciones requieren
proposiciones. Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas; los conceptos
pueden ser apenas relevantes o irrelevantes. Aun así no existen proposiciones
sin conceptos”[36].
“Un modelo computable del conocimiento
intuitivo debe comprender conceptos-en-acción y teoremas-en-acción como
ingredientes esenciales de los esquemas. Los esquemas son fundamentales porque
generan acciones, incluyendo operaciones intelectuales, pero pueden generarlas
porque contienen invariantes operatorios (teoremas y conceptos-en-acción) que
forman el núcleo de la representación. Por otro lado, un concepto-en-acción no
es un verdadero concepto científico ni un teorema-en-acción es un verdadero
teorema a menos que se tornen explícitos. En la ciencia, conceptos y teoremas
son explícitos y se puede discutir su pertinencia y su veracidad, pero ese no
es necesariamente el caso de los invariantes operatorios”[37].
No se puede hablar de invariantes operatorios en los esquemas sin la
ayuda de categorías de conocimiento explícito: proposiciones, funciones
proporcionales, objetos, argumentos (ibid.). Pero “conceptos-en-acción y teoremas-en-acción pueden, progresivamente,
tornarse verdaderos conceptos y teoremas científicos. El status del conocimiento es muy
diferente cuando él es explicitado en vez de quedar totalmente inmerso en la
acción. El conocimiento explícito puede ser comunicado a otros y discutido, el
conocimiento implícito no”[38].
Según Vegnaud “En
general, los estudiantes no son capaces de explicar ni tampoco de expresar en
lenguaje natural sus teoremas y conceptos-en-acción. En el abordaje de una
situación, los datos a ser trabajados y la secuencia de cálculos a ser
realizados dependen de teoremas-en-acción y de la identificación de diferentes
tipos de elementos pertinentes. La mayoría de esos conceptos y
teoremas-en-acción permanecen totalmente implícitos, pero ellos pueden, también
ser explícitos o volverse explícitos y ahí encaja la enseñanza: ayudar al
estudiante a construir conceptos y teoremas explícitos, y científicamente
aceptados a partir del conocimiento implícito. Es en este sentido que
conceptos-en-acción y teoremas-en-acción pueden, progresivamente, volverse
verdaderos conceptos y teoremas científicos, pero eso puede llevar mucho tiempo”[39].
Resolución de problemas
Según Vergnaud el concepto conocimiento científico es obtenido a través
de la interacción entre el dominio conceptual y el metodológico y son las situaciones las que dan sentido a los
conceptos; un concepto se vuelve significativo a través de una variedad de
situaciones, los conocimientos de los estudiantes son fabricados por las
situaciones que encuentran y gradualmente dominan. Aunque el concepto de
situación tenga, en la teoría de los campos conceptuales, el significado de
tarea, en las ciencias, situación significa también problema (Vergnaud, G. 1987).
O podemos hablar de situaciones y problemas como hace el propio Vergnaud al
decir que "la adquisición del
conocimiento es moldeada por las situaciones y problemas previamente dominados
y, por lo tanto, el conocimiento del sujeto tiene muchos aspectos locales"[40].
En un trabajo anterior a este, Vergnaud dice que “en verdad, los conceptos se desarrollan a través de la resolución de
problemas, y ese desarrollo es lento"[41].
Eso expresa que la resolución de problemas o las situaciones de resolución de
problemas son fundamentales para la conceptualización, como dice Vergnaud, "un
problema no es un problema para un individuo a menos que él o ella tenga
conceptos que lo/la tornen capaz de considerarlo como un problema para sí
mismo"[42].
Para Vergnaud, la problematización va más allá de la abstracción de
regularidades del mundo observable y los problemas son teóricos - prácticos,
y empírico y que cuando un tipo de
problemas es resuelto por una persona, significa que ella desarrolla un esquema
eficiente para abordarlos, el carácter problemático de esa clase en particular
desaparece (ibid.). Vergnaud llama "ilusión
pedagógica, a la actitud de los docentes que creen que la enseñanza, consiste
en la presentación organizada, clara, rigurosa de las teorías formales y que
cuando eso está bien hecho los estudiantes aprenden”[43].
Se trata de una ilusión porque, según él, “es
a través de situaciones de resolución de problemas que los conceptos se desarrollan
en el estudiante y las situaciones de resolución de problemas que forman los
conceptos significativos para los estudiantes pueden estar, por lo menos
inicialmente, muy distantes del formalismo presentado por el docente. Pero, a
pesar de eso, tales situaciones son esenciales para el desarrollo de conceptos,
es decir, al mismo tiempo que las situaciones formales son necesarias es
preciso tener en consideración que el estudiante puede estar aún muy lejos de
ellas”[44]
La teoría de Vergnaud
es, un buen referente, para analizar las dificultades de los estudiantes en la
resolución de problemas, en matemáticas, y por lo tanto de su conceptualización.
Dichas dificultades podrían, ser examinadas con base en los invariantes
operatorios, o sea, con base en cuáles son los conceptos y teoremas-en-acción
que los estudiantes estarían usando para la resolución de problemas y que tan
lejos estarían de los conceptos y teoremas científicos adecuados a la
resolución del problema planteado (Vergnaud, G. 1993.. p. 1-26.).
Figura 8:
Adaptado de campos conceptuales de Vergnaud (Vergnaud, 1990)[45]
En
este ensayo se describe la teoría de los campos conceptuales de Gérard
Vergnaud, para docentes Universitarios que deseen investigar en Educación
Matemática.
Esta
es una teoría que tiene origen en la teoría piagetiana, aunque se aleja considerablemente
de Piaget al darle importancia al contenido del conocimiento y al análisis
conceptual de la apropiación paso a paso de ese conocimiento y además a
ocuparse del estudio del desarrollo cognitivo del sujeto-en-situación en lugar
de ocuparse de las operaciones lógicas generales y de las estructuras generales
del pensamiento. Vergnaud al considerar lo anterior, permite describir,
analizar e interpretar todo lo que sucede en el proceso de enseñanza - aprendizaje
en el salón de clases.
Esta
teoría de los campos conceptuales es de mucha utilidad para los docentes
investigadores, la que les permite fundamentar su proceso de enseñanza-aprendizaje
en el área de Matemáticas y otras áreas del saber.
[1] VERGNAUD,
G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and
Confrey, J.
(1994). (Eds.) The development of
multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.:
State University of New York Press. pp. 41 -
59.
[2] VERGNAUD, G. (1998): A
comprehensive theory of representation for. P 181
[3] VERGNAUD,
G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and
Confrey, J. (1994). (Eds.) The development
of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany,
N.Y.: State University of New York Press. pp. 41 – 59.
[4] VERGNAUD, G. (1996): A trama dos campos conceituais na construção dos
conhecimentos. Revista do GEMPA.
Porto Alegre, Nº 4: 9-19.
[5] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a
la didáctica. Perspectivas, 26(10):
195-207.
[6] VERGNAUD,
G. (1998): A comprehensive theory of representation for. P, 181.
[7] Ibidem
[8] VERGNAUD, G.
(1983): Quelques problèmes theóriques de la didactique a propos d'un example:
les structures additives. Atelier International d'Eté: Récherche en
Didactique de la Physique. La Londe les Maures, Francia, 26 de junio a 13
de julio. p.401.
[9] VERGNAUD, G. (1996):
Education: the best part of Piaget's heritage. Swiss Journal of Psychology,
55(2/3): p.118
[10] VERGNAUD,
G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and
Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in
the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York
Press. pp. 41 - 59.
[11] VERGNAUD. G.
(1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des
Mathématique. 10 (23): 133-170.
[12] VERGNAUD, G. (1983). Quelques problèmes theóriques de la didactique a
propos d'un example: les structures additives. Atelier International d'Eté:
Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures. Francia. 26 de
junio a 13 de julio. P, 392.
[13] VERGNAUD,
G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and
Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in
the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York
Press. pp. 41 - 59.
[14] VERGNAUD,
G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition
of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp.
127-174.
[15] VERGNAUD,
G. (1988): Multiplicative structures. In Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.). Research
Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle
Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. pp. 141-161.
[16] VERGNAUD,
G. (1983). Quelques problèmes theóriques de la didactique a propos d'un
example: les structures additives. Atelier
International d'Eté: Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures. Francia. 26 de junio a 13 de julio. P. 393
[17] VERGNAUD,
G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition of Mathemtics Concepts and
Processes. New York: Academic Press Inc. pp. 127-174.
[18] VERGNAUD, G. (1983). Quelques
problèmes theóriques de la didactique a propos d'un example: les structures
additives. Atelier International
d'Eté: Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures.
Francia. 26 de junio a 13 de julio. P. 393
[19] VERGNAUD, G. (1994):
Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.
(1994). (Eds.) The development of
multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.:
State University of New York Press. pp. 41 - 59.
[21] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches
en Didactique des Mathématique. 10 (23):
133-170.
[22] VERGNAUD,
G. (1988): Multiplicative structures. In Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.). Research
Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle
Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. p. 5.
[23] VERGNAUD.
G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des
Mathématique. 10 (23): 133-170.
[24] VERGNAUD,
G. (1996): Education: the best part of Piaget's heritage. Swiss Journal of
Psycholog. 55(2/3): 112-118.
[25] VERGNAUD.
G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23):
133-170.
[26] VERGNAUD,
G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and
Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in
the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York
Press. pp. 41 - 59.
[27] VERGNAUD,
G. (1998): A comprehensive theory of representation for., p. 172
[28] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a
la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207. p. 203
[29] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches
en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[30] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a
la didáctica. Perspectivas, 26(10):
195-207.
[31] VERGNAUD,
G. (1998): A comprehensive theory of representation for., p. 177
[32] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a
la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207.
[33] VERGNAUD, G. (1996): Algunas
ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. Perspectivas, 26(10):
195-207.
Internacional de Educação
Matemática do Rio de Janeiro. p. 1-26.
[35] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory
of representation for, p. 167
[36] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative
conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.
(1994). (Eds.) The development of
multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.:
State University of New York Press. pp. 41 -
59.
[37] VERGNAUD. G. (1990): La théorie
des champs conceptuels. Récherches en
Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[38] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory
of representation for, p .175
[39] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative
conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.
(1994). (Eds.) The development of
multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.:
State University of New York Press. pp. 41 -
59.
[40] VERGNAUD,
G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and
Confrey, J.
(1994). (Eds.) The development of
multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.:
State University of New York Press. pp. 41 -
59.
[41] VERGNAUD,
G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition
of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp.
127-174.
[42] VERGNAUD, G. (1994):
Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey,
J.(1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning
of mathematics. Albany, N.Y.:State University of New York Press. pp. 41 -
59.
[43] VERGNAUD, G. (1983):
Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition
ofMathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp.
127-174.
[44] VERGNAUD,
G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition
ofMathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp.
127-174.
[45] VERGNAUD. G.
(1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des
Mathématique. 10 (23): 133-170.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario