Actividad 4: Campos vectoriales, divergencia, rotacional
Objetivos
* Reafirmar la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de los campos vectoriales, el rotacional y la divergencia.
Equipo
Computador con software MATHEMATICA instalado.
Papel, esfero o lápiz.
Procedimiento y situaciones
1. Abra el software MATHEMATICA.
2. Abra el archivo con el nombre "campos3_nombre" el cual guardo en la carpeta "JOGOEL" del directorio "C".
3. Ejecute todas las celdas nuevamente, coloque el puntero sobre cualquier parte del código y oprima simultáneamente shif e Intro.
4. Recuerde que en la actividad 3 estimo un campo vectorial y luego lo multiplico por una expresión algebraica. Digite los dos campos vectoriales.
Por ejemplo:
m1= 2 x y
n1= x^2
F1={m1,n1}
cv1=PlotVectorField[F1,{x,0,29},{y,0,21},Axes→True,AspectRatio→Automatic,PlotPoints→15,Frame→True,ScaleFunction→(".5"#&)]
m2 = 2 x y^2
n2=x^2 y
F2={m2,n2}
cv2=PlotVectorField[F2,{x,0,29},{y,0,21},Axes→True,AspectRatio→Automatic,PlotPoints→15,Frame→True,ScaleFunction→(".5"#&)]
Show[cv1,cv2]
ShowGraphicsArray[cv1,cv2]
Grafique nuevamente cv1 y cv2 utilizando {x,-29,29},{y,-21,21} en el lugar de {x,0,29},{y,0,21}
i) Observa alguna simetría?. EXPLIQUE
ii) ¿Qué representa geométricamente esta expresión algebraica? EXPLIQUE.
iii) ¿Qué argumento daría para explicar su conjetura? EXPLIQUE.
5. El siguiente programa le permite decidir si el campo vectorial cuyas componentes son m1 y n1 es conservativo:
Clear[x,y,m,n,campo]
Off[General::velocidad]
Off[General::velocidad1]
m[x_,y_]:= m1= 2 x y ;
n[x_,y_]:= n1= x^2;
campo:={m[x,y],n[x,y]};
my=D[campo[[1]],y]//Simplify;
nx=D[campo[[2]],x]//Simplify;
Print["m(x,y)= ", m[x,y]]
Print["n(x,y)= ", n[x,y]]
Print["La derivada parcial de m con respecto a y es", my]
Print["La derivada parcial de n con respecto a x es" ,nx]
If[my===nx,Print["El campo es conservativo."],
Print["El campo no es conservativo."]]
Copie y pegue el código anterior en una nueva celda para decidir si el campo vectorial cuyas componentes son m2 y n2 es conservativo.
Use el siguiente programa para hallar la función potencial en un conjunto convexo (todo par de puntos puede unirse con un segmento rectilíneo) de un campo vectorial conservativo en R^2. Si no lo es en algunas ocasiones podemos hallar un Factor Conservativo para transformarlo en otro campo que si es conservativo):
Clear[potencial] (*Intro*)
potencial:=Module[{mm,nn,x,y,i1,ex1,ex2,fi1,fi2,fi3,fi4,fi5},
{mm=Input["Ingrese la función m :"], Print["La función m es -> ",mm," ."],
nn=Input["Ingrese la función n"], Print["La función n es -> ",nn," ."],
x=Input["Ingrese la primera variable :"], Print["La primera variable es -> ", x," ."],
y=Input["Ingrese la segunda variable :"], Print["La segunda variable es -> ", y," ."],
i1=Simplify[Integrate[mm,x]], ex1=Simplify[nn-D[i1,y]], ex2=Simplify[Integrate[ex1,y]],
gi1=Simplify[PowerExpand[Simplify[(D[mm,y]-D[nn,x])/nn]]], fi1=Simplify[D[gi1,y]],
gi0=If[fi1===0,E^Integrate[gi1,x],0], gi2=Simplify[PowerExpand[Simplify[(D[mm,y]+D[nn,x])/mm]]], fi2=Simplify[D[gi2,x]],
gi3=If[fi2===0,E^Integrate[gi2,y],0], gi4=Simplify[E^(Integrate[fi3,ttt]/.{ttt->x*y})],
fi3=Simplify[PowerExpand[Simplify[(-D[mm,y]+D[nn,x])/(x*mm-y*nn)]]/.{y->ttt/x}],
fi4=Simplify[D[fi3,y]], fi5=Simplify[D[fi3,x]]};
If[Simplify[PowerExpand[Simplify[D[mm,y]-D[nn,x]]]]===0, Print["El Campo vectorial es"]; Print["(",mm,")i + (",nn,")j=",F," ."]; Print["Este campo es conservativo ."];
Print["Buscaremos el potencial"]; Print["en la forma f[x,y]."];
Print["La función f[x,y] es tal que su derivada parcial"];
Print["con respecto a ", x," es igual a ",mm," ,"];
Print["es decir, ",D[f[x,y],x]==mm," ..........(1) ,"];
Print["y su derivada parcial con respecto a "];
Print[y," es igual a ",nn," ,"];
Print["o sea, ",D[f[x,y],y]==nn, " .........(*)."];
Print["Integrando la ecuación (1)"];
Print["con respecto a ",x," se obtiene :"];
Print[f[x,y]==i1,"+",h[y]," .........(2),"];
Print["en donde la función h[y] no depende de ",x," ."];
Print["Derivando ambos lados de la ecuación (2)"];
Print["con respecto a ",y];
Print["resulta ",D[f[x,y],y]==D[i1,y]," + ",h'[y]," ."];
Print["Pero, de acuerdo a la ecuación (*), ",D[f[x,y],y]==nn," ,"];
Print["luego"];
Print[nn,"==",D[i1,y],"+",h'[y]];
Print["Al simplificar resulta"];
Print[h'[y]==ex1];
Print["Integrando esta última ecuación"];
Print["con respecto a ",y," recibimos una expresión para h[y] :"];
Print[h[y]," == ",ex2," ."];
Print["Por lo tanto, de (2) se tiene que"];
Print[f[x,y]," == ",i1+ex2," ."];
Print["De esta manera, el potencial es"];
Print[Simplify[i1+ex2]," == f(x,y) - c,"];
Print["en donde C es una constante arbitraria(por sencillez c=0)"],
If[!(fi2===0)&&!(fi1===0)&&Or[!(fi4===0),!(fi5===0)],
Print["El campo vectorial es "];
Print["(",mm,")i+ (",nn,")j=",F," ."];
Print[""];
Print["Al parecer, su campo no es conservativo ."];
Print["Lamento comunicarle que no me fue posible"];
Print["encontrar un factor conservativo para su campo ."],
Which[fi1===0,
Print["El campo"];
Print["(",mm,")i+ (",nn,")j=",0," ."];
Print["posee el factor conservativo"];
Print[gi0];
Print["Multiplcando el campo vectorial"];
Print["por el factor conservativo, resulta el campo vectorial conservaivo"];
Print["( ",gi0*mm,")d",x," + ","( ",gi0*nn," )d",y," == ",0];
Print["Halle nuevamente el potencial con"];
Print["m = ",gi0*mm];
Print["y"];
Print["n = ",gi0*nn];
Input["Buenas noticias!. A pesar de que su campo vectorial no es conservativo,
el admite un factor conservativo.Observe las expresiones para m y n que aparecen en el lado izquierdo de su pantalla. Para continuar, escriba 1 y luego presione ENTER"];
potencial,
fi2===0,
Print["El campo"];
Print["(",mm,")i+ (",nn,")j=",F," ."];
Print["posee el factor conservativo"];
Print[gi3];
Print["Multiplicando el campo vectorial"];
Print["por el factor conservativo, resulta el campo vecorial"];
Print["( ",gi3*mm,")i + ( ",gi3*nn," )j == ",F];
Input["Buenas noticias!.A pesar de que su campo vectorial no es conservativo, el admite un factor conservativo.
Observe las expresiones para m y n que aparecen en el lado izquierdo
de su pantalla. Para continuar,escriba 1 y luego presione ENTER"];
potencial,
fi4===0&&fi5===0,
Print["El campo"];
Print["(",mm,")i+ (",nn,")j=",F," ."];
Print["posee el factor conservativo"];
Print[gi4];
Print["Multiplicando ambos lados del campo vectorial"];
Print["por el factor conservativo, resulta el campo vectorial"];
Print["( ",gi4*mm,")i + ( ",gi4*nn," )j == ",F];
Input["Buenas noticias!.A pesar de que su campo
no es conservativo, el admite un factor conservativo. Observe
las expresiones para m y n que aparecen en el lado izquierdo
de su pantalla. Para continuar,
Escriba 1 y luego presione ENTER"];
potencial]]]] (*Intro*)
potencial (*Intro*)
Interactúe con la maquina llenando la caja de dialogo (utilice el campo vectorial F2).
i) En la actividad 3 estimo un campo vectorial (F1) y luego lo multiplico por una expresión algebraica (obtuvo el campo vectorial F2). ¿Esta expresión es igual al factor conservativo?. EXPLIQUE. ¿Este factor conservativo es único?. EXPLIQUE. ¿El factor conservativo está relacionado con la simetría?. EXPLIQUE
ii) ¿Describa el procedimiento anterior mediante el uso de papel, esfero o lápiz?
EXPLIQUE
6. Ahora cargue las librerías:
<<Graphics`PlotField3D` y <<Calculus`VectorAnalysis`
Dibuje el campo gravitacional de la tierra, defina (estos son datos reales):
m=(-(9.8)*5983000000000000000000000*x)/(x^2+y^2+z^2 )^(3/2)
n=(-(9.8)*5983000000000000000000000*y)/(x^2+y^2+z^2 )^(3/2)
p=(-(9.8)*5983000000000000000000000*z)/(x^2+y^2+z^2 )^(3/2)
cgt=PlotVectorField3D[{m,n,p},{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},Axes→True,AspectRatio→Automatic,PlotPoints→8,Frame→True,VectorHeads→True,AxesLabel→{x,y,z}]
Dibuje el campo gravitacional de la luna y llámelo cgl
¿Cuál es la relación que existe entre los dos campos?
¿Cuál es su argumento para verificar su conjetura?
7. Calcule el rotacional y la divergencia del campo gravitacional de la tierra y de la luna, apóyese en:
<<Graphics`PlotField3D`
<<Calculus`VectorAnalysis`
Clear[x,y,z,m,n,p,campovectorial]
m[x_,y_,z_]:=m;
n[x_,y_,z_]:=n;
p[x_,y_,z_]:=p
campovectorial:={m[x,y,z],n[x,y,z], p[x,y,z]}
PlotVectorField3D[campovectorial,
{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5},{z,-1.5,1.5},
Axes->True, AspectRatio->Automatic,PlotPoints->8,
Frame->True,VectorHeads->True,AxesLabel->{x,y,z}]
Print["El rotacional del campo vectorial es ",
rotF={D[p[x,y,z],y]-D[n[x,y,z],z],
D[m[x,y,z],z]-D[p[x,y,z],x],
Clear[x,y,z,campovectorial]
campovectorial:={x y2+z4,x2 y-z, y3 +z2}
PlotVectorField3D[campovectorial,
{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5},{z,-1.5,1.5},
Axes->True, AspectRatio->Automatic,PlotPoints->8,
Frame->True,VectorHeads->True,AxesLabel->{x,y,z}]
Print["La divergencia del campo vectorial es ",
divF=Div[campovectorial,Cartesian[x,y,z]]]
i) ¿Qué representa el rotacional y la divergencia? EXPLIQUE.
ii) ¿Qué argumento daría para explicar su conjetura? EXPLIQUE.
8. Modifique el código anterior para calcular el rotacional y la divergencia de los campos que en la actividad 3 estimo y aquí los llamo F1 y F2 (tome la tercera componente igual a cero).
i) ¿Qué representa el rotacional y la divergencia para estos campos vectoriales construidos desde la actividad 2? EXPLIQUE.
ii) ¿Qué argumento daría para explicar su conjetura? EXPLIQUE.
Guarde el archivo (“File” “Save”). Envié una copia de este archivo al correo: jogoel@gmail.com
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