Un campo vectorial en n dimensiones es una función F con dominio D, el cual es un subconjunto de R^n, y su imagen es un subconjunto de Vn. Un campo vectorial en tres dimensiones es una función F con dominio D, el cual es un subconjunto de R^3, y su imagen es un subconjunto de V3. Si (x,y,z)∈D, entonces F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, donde M, N y P son funciones escalares de tres variables y su imagen constituye un subconjunto de V3. Un campo vectorial en dos dimensiones es una función F con dominio D, el cual es un subconjunto de R^2, y su imagen es un subconjunto de V2. Si (x,y)∈D, entonces F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j, donde M y N son funciones escalares de dos variables y cuya imagen constituye un subconjunto de V2 (Figura 1).
Se puede representar la velocidad V(x,y,z) de un fluido mediante un vector dibujado en cada punto (x,y,z) del dominio del fluido, y la colección de vectores que resulta es un campo de velocidades.
Para tener una idea grafica de un campo vectorial, se dibujan vectores V(x,y,z) en forma de flechas, en puntos seleccionados de D. Un diagrama de este tipo es la gráfica del campo vectorial.
F(x,y)=yi-xj
F(x,y)=5i+3j
F(x,y)=-5yi+3xj
Figura 1: Graficas de campos vectoriales
Los campos gravitatorios, eléctricos y magnéticos son muy importantes en las aplicaciones físicas.
Campo de variación inversa al cuadrado de la distancia
Sea R(x,y,z)=xi+yj+zk el vector de posición de un punto P(x,y,z). Se dice que un campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia sí F(x,y,z)=c/‖R‖^2 u donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la misma dirección que R y está dada por u=R/‖R‖.
Describamos el campo F(x,y,z)=c/‖R‖^2 u con c < 0.
Como u=R/‖R‖ y (x,y,z)=xi+yj+zk ,entonces
F(x,y,z)=c/‖R‖^2 u=cR/‖R‖^3 =(c(xi+yj+zk))/〖(x^2+y^2+z^2)〗^(3/2).
Observamos que F(x,y,z) es un múltiplo escalar negativo de R, la dirección de F(x,y,z) es hacia el origen.
Además F(x,y,z)=|c|/‖R‖^2 la magnitud de F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto p(x,y,z) al origen. Esto significa que cuando el punto p(x,y,z) se aleja del origen, la longitud del vector asociado F(x,y,z) disminuye. En la siguiente figura se ven algunos vectores de este campo.
F(x,y,z)=(-(9.81)(4)(xi+yj+zk))/〖(x^2+y^2+z^2)〗^(3/2)
Figura 2: Campo de variación inversa al cuadrado de la distancia
La fuerza de la gravedad determina un campo de tipo de variación inversa al cuadrado. Según la ley de gravitación universal de Newton, si una partícula de masa M se coloca en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la fuerza que ejerce sobre una partícula de masa m localizada en p(x,y,z) es F(x,y,z)=-G Mm/‖R‖^2 u donde G es la constante de gravitación universal, R es el vector de posición del punto p(x,y,z) y u=R/‖R‖ .
Otra forma de esta ley afirma que una partícula de masa M ubicada en el origen O ejerce sobre la unidad de masa m=1 en el punto p(x,y,z) la fuerza F(x,y,z) dada por:
F(x,y,z)=GM/(x^2+y^2+z^2 ) u(x,y,z)
Donde G es la constante de gravitación universal y u(x,y,z) es el vector unitario asociado al vector Po, dado por:
u(x,y,z)=1/√(x^2+y^2+z^2 )(x,y,z)
De donde F(x,y,z)=(-GM)/(x^2+y^2+z^2 )^(3/2) (x,y,z) este campo vectorial apunta al origen y tiene el mismo modulo en puntos igualmente distanciados al origen (Figura 3).
F(x,y,z)=(-(9.81)(5983000000000000000000000)/(x^2+y^2+z^2 )^(3/2) (x,y,z)
Figura 3: Campo gravitacional de la tierra
Aquí 9.81m/s representa la gravedad y 5’983,000,000,000,000,000,000,000 Kg es la masa de la tierra.
También en la teoría de la electricidad aparecen los campos de tipo de variación inversa al cuadrado. La ley de coulomb afirma que si una carga eléctrica puntual Q (en coulomb) se encuentra en el origen, entonces la fuerza F(x,y,z) que ejerce sobre otra carga q (en coulomb) localizada en p(x,y,z) es F(x,y,z)=c Qq/‖R‖^2 u donde c es una constante, u=R/‖R‖ y (x,y,z)=xi+yj+zk. Observe que la ley de coulomb tiene la misma forma que la ley de gravitación universal de Newton.
Campo vectorial conservativo (independencia del camino)
Sí w=f(x,y,z), entonces el gradiente de la función w=f(x,y,z), ∇w=f_x (x,y,z)i+f_y (x,y,z)j+f_z (x,y,z)k es un campo vectorial. Por un teorema (averígüelo) la dirección del vector ∇w en cualquier punto k(x,y,z) es normal a la superficie de nivel S de f que pasa por k(x,y,z), además la magnitud de ∇w es igual a la razón máxima de cambio de f en el punto k(x,y,z). Se dice que un campo vectorial F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir, si F(x,y,z)=∇w para una función f. Si F(x,y,z) es conservativo, entonces la función f es una función de potencial para F(x,y,z), y w=f(x,y,z), se llama potencial en el punto k(x,y,z).
Una región D se llama conexa si se pueden unir cualesquiera dos de sus puntos por un arco enteramente contenido en D y si además toda curva cerrada encierra solo puntos de D, se dice que D es simplemente conexa (Figura 4).
Figura 4: Regiones convexas
Sea F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j donde M y N tienen primeras derivadas parciales continuas en una región D abierta y simplemente conexa, entonces F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j es conservativo en D, si y solo si ∂M/∂y=∂N/∂x.
Así, dado el campo vectorial F(x,y)=(e^x Siny-y)i+(e^x Cosy-x-2)j
Sea M=(e^x Siny-y) y N=(e^x Cosy-x-2), entonces ∂M/∂y=∂N/∂x luego F es conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que ∇f=F, observemos que debe ser M(x,y)=fx (x,y) y N(x,y)=fy (x,y) hacemos una integración parcial, es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como constante: f(x,y)=∫M(x,y)dx=∫e^x (Siny-y)dx=e^x Siny-yx+c(y), como también debe ser fy=N(x,y) calculamos la derivada parcial con respecto a y, así obtenemos: fy (x,y)=∂/∂y(e^x Siny-yx+c(y))=e^x Cosy-x+dc/dy igualando a N(x,y)=e^x Cosy-x-2 y despejando dc/dy tenemos e^x Cosy-x+dc/dy=e^x Cosy-x-2 así dc/dy=-2 integrando hallamos que c(y)=-2y+c, luego f(x,y)=e^x Siny-yx-2y+c. Cualquier función de esta familia es un potencial escalar de F, luego podemos tomar f(x,y)=e^x Siny-yx-2y
Rotacional de f
Sea F una función vectorial en tres dimensiones dada por F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. El Rotacional de F está dado por rotF=∇XF=(∂P/∂y=∂N/∂z)i+(∂M/∂z=∂P/∂x)j+(∂N/∂x=∂M/∂y)k
Se usará el símbolo rotF=∇XF para denotar el vector rotF(x,y,z).
La fórmula para rotF(x,y,z) se puede considerar como el desarrollo de un determinante con respecto al primer renglón.
rotF=∇XF=(∂P/∂y=∂N/∂z)i+(∂M/∂z=∂P/∂x)j+(∂N/∂x=∂M/∂y)k=
det({i , j , k}, {∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z}, {M , N , P)})
Si F es el campo de velocidades en un fluido (líquido o gas) que se mueve a través de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces rotF=∇XF da información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto k(x,y,z) alrededor del cual el fluido gira, entonces rotF=∇XF coincide con el eje de rotación y se puede emplear para describir las propiedades rotacionales del campo.
Interpretación física del rotacional
Si un fluido se mueve en una región del plano xy, se puede imaginar el rotacional como la circulación del fluido. Una buena manera de medir el efecto de la circulación (módulo, dirección y sentido) es colocar una pequeña rueda con aspas en el fluido el rotacional mide la tasa de rotación del fluido en el punto en el que se coloca la rueda con aspas en la dirección de su eje (Figura 5).
Figura 5: Campos vectoriales con rotacionales contrarios[1]
El rotacional es positivo para la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj. Sea F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k la velocidad de un fluido incompresible y supongamos que introducimos una rueda con aspas en el fluido, de tal manera que su eje es el eje z. Despreciamos el peso de las aspas. El fluido tiende a arremolinarse alrededor del eje z haciendo que giren las aspas. Podemos estudiar el movimiento del fluido mediante el de las aspas. Se puede ver que la velocidad angular del líquido:
Alrededor del eje x es proporcional a (∂P/∂y=∂N/∂z)
Alrededor del eje y es proporcional a (∂M/∂z=∂P/∂x)
Alrededor del eje z es proporcional a (∂N/∂x=∂M/∂y)
Así la tendencia del fluido a formar un remolino viene medida por rotF=∇XF. Si rotF=∇XF =0 el fluido no tiene movimiento rotacional y se dice que es irrotacional[2].
Un campo vectorial en n dimensiones es una función F con dominio D, el cual es un subconjunto de R^n, y su imagen es un subconjunto de Vn. Un campo vectorial en tres dimensiones es una función F con dominio D, el cual es un subconjunto de R^3, y su imagen es un subconjunto de V3. Si (x,y,z)∈D, entonces F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, donde M, N y P son funciones escalares de tres variables y su imagen constituye un subconjunto de V3. Un campo vectorial en dos dimensiones es una función F con dominio D, el cual es un subconjunto de R^2, y su imagen es un subconjunto de V2. Si (x,y)∈D, entonces F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j, donde M y N son funciones escalares de dos variables y cuya imagen constituye un subconjunto de V2 (Figura 1).
Se puede representar la velocidad V(x,y,z) de un fluido mediante un vector dibujado en cada punto (x,y,z) del dominio del fluido, y la colección de vectores que resulta es un campo de velocidades.
Para tener una idea grafica de un campo vectorial, se dibujan vectores V(x,y,z) en forma de flechas, en puntos seleccionados de D. Un diagrama de este tipo es la gráfica del campo vectorial.
F(x,y)=yi-xj
F(x,y)=5i+3j
F(x,y)=-5yi+3xj
Figura 1: Graficas de campos vectoriales
Los campos gravitatorios, eléctricos y magnéticos son muy importantes en las aplicaciones físicas.
Campo de variación inversa al cuadrado de la distancia
Sea R(x,y,z)=xi+yj+zk el vector de posición de un punto P(x,y,z). Se dice que un campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia sí F(x,y,z)=c/‖R‖^2 u donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la misma dirección que R y está dada por u=R/‖R‖.
Describamos el campo F(x,y,z)=c/‖R‖^2 u con c < 0.
Como u=R/‖R‖ y (x,y,z)=xi+yj+zk ,entonces
F(x,y,z)=c/‖R‖^2 u=cR/‖R‖^3 =(c(xi+yj+zk))/〖(x^2+y^2+z^2)〗^(3/2).
Observamos que F(x,y,z) es un múltiplo escalar negativo de R, la dirección de F(x,y,z) es hacia el origen.
Además F(x,y,z)=|c|/‖R‖^2 la magnitud de F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto p(x,y,z) al origen. Esto significa que cuando el punto p(x,y,z) se aleja del origen, la longitud del vector asociado F(x,y,z) disminuye. En la siguiente figura se ven algunos vectores de este campo.
La fuerza de la gravedad determina un campo de tipo de variación inversa al cuadrado. Según la ley de gravitación universal de Newton, si una partícula de masa M se coloca en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la fuerza que ejerce sobre una partícula de masa m localizada en p(x,y,z) es F(x,y,z)=-G Mm/‖R‖^2 u donde G es la constante de gravitación universal, R es el vector de posición del punto p(x,y,z) y u=R/‖R‖ .
Otra forma de esta ley afirma que una partícula de masa M ubicada en el origen O ejerce sobre la unidad de masa m=1 en el punto p(x,y,z) la fuerza F(x,y,z) dada por:
Donde G es la constante de gravitación universal y u(x,y,z) es el vector unitario asociado al vector Po, dado por:
De donde F(x,y,z)=(-GM)/(x^2+y^2+z^2 )^(3/2) (x,y,z) este campo vectorial apunta al origen y tiene el mismo modulo en puntos igualmente distanciados al origen (Figura 3).
Aquí 9.81m/s representa la gravedad y 5’983,000,000,000,000,000,000,000 Kg es la masa de la tierra.
También en la teoría de la electricidad aparecen los campos de tipo de variación inversa al cuadrado. La ley de coulomb afirma que si una carga eléctrica puntual Q (en coulomb) se encuentra en el origen, entonces la fuerza F(x,y,z) que ejerce sobre otra carga q (en coulomb) localizada en p(x,y,z) es F(x,y,z)=c Qq/‖R‖^2 u donde c es una constante, u=R/‖R‖ y (x,y,z)=xi+yj+zk. Observe que la ley de coulomb tiene la misma forma que la ley de gravitación universal de Newton.
Sí w=f(x,y,z), entonces el gradiente de la función w=f(x,y,z), ∇w=f_x (x,y,z)i+f_y (x,y,z)j+f_z (x,y,z)k es un campo vectorial. Por un teorema (averígüelo) la dirección del vector ∇w en cualquier punto k(x,y,z) es normal a la superficie de nivel S de f que pasa por k(x,y,z), además la magnitud de ∇w es igual a la razón máxima de cambio de f en el punto k(x,y,z). Se dice que un campo vectorial F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir, si F(x,y,z)=∇w para una función f. Si F(x,y,z) es conservativo, entonces la función f es una función de potencial para F(x,y,z), y w=f(x,y,z), se llama potencial en el punto k(x,y,z).
Una región D se llama conexa si se pueden unir cualesquiera dos de sus puntos por un arco enteramente contenido en D y si además toda curva cerrada encierra solo puntos de D, se dice que D es simplemente conexa (Figura 4).
Observamos que F(x,y,z) es un múltiplo escalar negativo de R, la dirección de F(x,y,z) es hacia el origen.
Además F(x,y,z)=|c|/‖R‖^2 la magnitud de F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto p(x,y,z) al origen. Esto significa que cuando el punto p(x,y,z) se aleja del origen, la longitud del vector asociado F(x,y,z) disminuye. En la siguiente figura se ven algunos vectores de este campo.
F(x,y,z)=(-(9.81)(4)(xi+yj+zk))/〖(x^2+y^2+z^2)〗^(3/2)
Figura 2: Campo de variación inversa al cuadrado de la distancia
La fuerza de la gravedad determina un campo de tipo de variación inversa al cuadrado. Según la ley de gravitación universal de Newton, si una partícula de masa M se coloca en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la fuerza que ejerce sobre una partícula de masa m localizada en p(x,y,z) es F(x,y,z)=-G Mm/‖R‖^2 u donde G es la constante de gravitación universal, R es el vector de posición del punto p(x,y,z) y u=R/‖R‖ .
Otra forma de esta ley afirma que una partícula de masa M ubicada en el origen O ejerce sobre la unidad de masa m=1 en el punto p(x,y,z) la fuerza F(x,y,z) dada por:
F(x,y,z)=GM/(x^2+y^2+z^2 ) u(x,y,z)
u(x,y,z)=1/√(x^2+y^2+z^2 )(x,y,z)
F(x,y,z)=(-(9.81)(5983000000000000000000000)/(x^2+y^2+z^2 )^(3/2) (x,y,z)
Figura 3: Campo gravitacional de la tierra
Aquí 9.81m/s representa la gravedad y 5’983,000,000,000,000,000,000,000 Kg es la masa de la tierra.
También en la teoría de la electricidad aparecen los campos de tipo de variación inversa al cuadrado. La ley de coulomb afirma que si una carga eléctrica puntual Q (en coulomb) se encuentra en el origen, entonces la fuerza F(x,y,z) que ejerce sobre otra carga q (en coulomb) localizada en p(x,y,z) es F(x,y,z)=c Qq/‖R‖^2 u donde c es una constante, u=R/‖R‖ y (x,y,z)=xi+yj+zk. Observe que la ley de coulomb tiene la misma forma que la ley de gravitación universal de Newton.
Campo vectorial conservativo (independencia del camino)
Sí w=f(x,y,z), entonces el gradiente de la función w=f(x,y,z), ∇w=f_x (x,y,z)i+f_y (x,y,z)j+f_z (x,y,z)k es un campo vectorial. Por un teorema (averígüelo) la dirección del vector ∇w en cualquier punto k(x,y,z) es normal a la superficie de nivel S de f que pasa por k(x,y,z), además la magnitud de ∇w es igual a la razón máxima de cambio de f en el punto k(x,y,z). Se dice que un campo vectorial F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir, si F(x,y,z)=∇w para una función f. Si F(x,y,z) es conservativo, entonces la función f es una función de potencial para F(x,y,z), y w=f(x,y,z), se llama potencial en el punto k(x,y,z).
Una región D se llama conexa si se pueden unir cualesquiera dos de sus puntos por un arco enteramente contenido en D y si además toda curva cerrada encierra solo puntos de D, se dice que D es simplemente conexa (Figura 4).
Figura 4: Regiones convexas
Sea F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j donde M y N tienen primeras derivadas parciales continuas en una región D abierta y simplemente conexa, entonces F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j es conservativo en D, si y solo si ∂M/∂y=∂N/∂x.
Así, dado el campo vectorial F(x,y)=(e^x Siny-y)i+(e^x Cosy-x-2)j
Sea M=(e^x Siny-y) y N=(e^x Cosy-x-2), entonces ∂M/∂y=∂N/∂x luego F es conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que ∇f=F, observemos que debe ser M(x,y)=fx (x,y) y N(x,y)=fy (x,y) hacemos una integración parcial, es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como constante: f(x,y)=∫M(x,y)dx=∫e^x (Siny-y)dx=e^x Siny-yx+c(y), como también debe ser fy=N(x,y) calculamos la derivada parcial con respecto a y, así obtenemos: fy (x,y)=∂/∂y(e^x Siny-yx+c(y))=e^x Cosy-x+dc/dy igualando a N(x,y)=e^x Cosy-x-2 y despejando dc/dy tenemos e^x Cosy-x+dc/dy=e^x Cosy-x-2 así dc/dy=-2 integrando hallamos que c(y)=-2y+c, luego f(x,y)=e^x Siny-yx-2y+c. Cualquier función de esta familia es un potencial escalar de F, luego podemos tomar f(x,y)=e^x Siny-yx-2y
Sea F una función vectorial en tres dimensiones dada por F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. El Rotacional de F está dado por rotF=∇XF=(∂P/∂y=∂N/∂z)i+(∂M/∂z=∂P/∂x)j+(∂N/∂x=∂M/∂y)k
Se usará el símbolo rotF=∇XF para denotar el vector rotF(x,y,z).
La fórmula para rotF(x,y,z) se puede considerar como el desarrollo de un determinante con respecto al primer renglón.
rotF=∇XF=(∂P/∂y=∂N/∂z)i+(∂M/∂z=∂P/∂x)j+(∂N/∂x=∂M/∂y)k=
det({i , j , k}, {∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z}, {M , N , P)})
Si F es el campo de velocidades en un fluido (líquido o gas) que se mueve a través de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces rotF=∇XF da información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto k(x,y,z) alrededor del cual el fluido gira, entonces rotF=∇XF coincide con el eje de rotación y se puede emplear para describir las propiedades rotacionales del campo.
Si un fluido se mueve en una región del plano xy, se puede imaginar el rotacional como la circulación del fluido. Una buena manera de medir el efecto de la circulación (módulo, dirección y sentido) es colocar una pequeña rueda con aspas en el fluido el rotacional mide la tasa de rotación del fluido en el punto en el que se coloca la rueda con aspas en la dirección de su eje (Figura 5).
El rotacional es positivo para la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj. Sea F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k la velocidad de un fluido incompresible y supongamos que introducimos una rueda con aspas en el fluido, de tal manera que su eje es el eje z. Despreciamos el peso de las aspas. El fluido tiende a arremolinarse alrededor del eje z haciendo que giren las aspas. Podemos estudiar el movimiento del fluido mediante el de las aspas. Se puede ver que la velocidad angular del líquido:
Así la tendencia del fluido a formar un remolino viene medida por rotF=∇XF. Si rotF=∇XF =0 el fluido no tiene movimiento rotacional y se dice que es irrotacional[2].
Así, dado el campo vectorial F(x,y)=(e^x Siny-y)i+(e^x Cosy-x-2)j
Sea M=(e^x Siny-y) y N=(e^x Cosy-x-2), entonces ∂M/∂y=∂N/∂x luego F es conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que ∇f=F, observemos que debe ser M(x,y)=fx (x,y) y N(x,y)=fy (x,y) hacemos una integración parcial, es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como constante: f(x,y)=∫M(x,y)dx=∫e^x (Siny-y)dx=e^x Siny-yx+c(y), como también debe ser fy=N(x,y) calculamos la derivada parcial con respecto a y, así obtenemos: fy (x,y)=∂/∂y(e^x Siny-yx+c(y))=e^x Cosy-x+dc/dy igualando a N(x,y)=e^x Cosy-x-2 y despejando dc/dy tenemos e^x Cosy-x+dc/dy=e^x Cosy-x-2 así dc/dy=-2 integrando hallamos que c(y)=-2y+c, luego f(x,y)=e^x Siny-yx-2y+c. Cualquier función de esta familia es un potencial escalar de F, luego podemos tomar f(x,y)=e^x Siny-yx-2y
Rotacional de f
Sea F una función vectorial en tres dimensiones dada por F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. El Rotacional de F está dado por rotF=∇XF=(∂P/∂y=∂N/∂z)i+(∂M/∂z=∂P/∂x)j+(∂N/∂x=∂M/∂y)k
Se usará el símbolo rotF=∇XF para denotar el vector rotF(x,y,z).
La fórmula para rotF(x,y,z) se puede considerar como el desarrollo de un determinante con respecto al primer renglón.
rotF=∇XF=(∂P/∂y=∂N/∂z)i+(∂M/∂z=∂P/∂x)j+(∂N/∂x=∂M/∂y)k=
det({i , j , k}, {∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z}, {M , N , P)})
Si F es el campo de velocidades en un fluido (líquido o gas) que se mueve a través de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces rotF=∇XF da información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto k(x,y,z) alrededor del cual el fluido gira, entonces rotF=∇XF coincide con el eje de rotación y se puede emplear para describir las propiedades rotacionales del campo.
Interpretación física del rotacional
Si un fluido se mueve en una región del plano xy, se puede imaginar el rotacional como la circulación del fluido. Una buena manera de medir el efecto de la circulación (módulo, dirección y sentido) es colocar una pequeña rueda con aspas en el fluido el rotacional mide la tasa de rotación del fluido en el punto en el que se coloca la rueda con aspas en la dirección de su eje (Figura 5).
Figura 5: Campos vectoriales con rotacionales contrarios[1]
El rotacional es positivo para la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj. Sea F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k la velocidad de un fluido incompresible y supongamos que introducimos una rueda con aspas en el fluido, de tal manera que su eje es el eje z. Despreciamos el peso de las aspas. El fluido tiende a arremolinarse alrededor del eje z haciendo que giren las aspas. Podemos estudiar el movimiento del fluido mediante el de las aspas. Se puede ver que la velocidad angular del líquido:
Alrededor del eje x es proporcional a (∂P/∂y=∂N/∂z)
Alrededor del eje y es proporcional a (∂M/∂z=∂P/∂x)
Alrededor del eje z es proporcional a (∂N/∂x=∂M/∂y)
Así la tendencia del fluido a formar un remolino viene medida por rotF=∇XF. Si rotF=∇XF =0 el fluido no tiene movimiento rotacional y se dice que es irrotacional[2].
Divergencia de f
Sea F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. La Divergencia de F está dado por
DivF=∇∙F=∂M/∂x+∂N/∂y+∂P/∂z
Se usa el símbolo DivF=∇∙F para la divergencia por que la formula puede establecerse tomando lo que parece ser el producto escalar de ∇ po F.
Si F es el campo de velocidades en un fluido, entonces DivF=∇∙F da información acerca del flujo o desplazamiento de la masa. Si DivF<0 en un punto k(x,y,z) entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que hay un sumidero en k(x,y,z). Si DivF>0, entonces la masa fluye desde el punto y se dice que hay una fuente en k(x,y,z). La condición DivF=0 es característica de los fluidos incompresibles.
En un campo vectorial, F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, donde M, N y P son funciones escalares de tres variables pueden definirse limites, continuidad, derivadas parciales e integrales múltiples usando las componentes de F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k tal como se hizo para las funciones vectoriales de una variable.
Desde la perspectiva de las ciencias físicas
El
concepto de campo vectorial es importante en matemáticas y esencial en Física,
puesto que penetra los dominios de esta disciplina. “En Física clásica, el concepto de campo sirve para describir y
explicar fenómenos electromagnéticos, gravitacionales, de fluidos y otros. En
la Física moderna es fundamental en las teorías de partículas elementales que
buscan la elaboración de modelos que expliquen en una teoría unificada las
fuerzas básicas de la naturaleza”[3]
y en la teoría general de la relatividad el concepto de campo “es el elemento conceptual que describe lo
físicamente real con la inclusión de la estructura del espacio-tiempo”[4]. En la
histórica de la Física, “el
concepto de campo aparece en el siglo XIX, cuando se buscaba una explicación de
los fenómenos electromagnéticos. A finales del siglo XVIII Laplace y Poisson
formularon una teoría gravitacional en términos de campo gravitacional y
potencial, la cual era una cuasi estructura matemática que no permitía
profundizar en los conceptos físicos”[5].
Faraday, fue el primero en abordar el
concepto de campo, al rechazar la idea de acción a distancia para abordar las
fuerzas electromagnéticas. Fue Maxwell
en 1855, “quién brindo un objeto
matemático a las concepciones de Faraday, desarrollando un programa de
investigación basado en este nuevo supuesto ontológico: una acción física, en
particular la electromagnética, se transmite continuamente por el espacio y
tiempo mediatizada por el campo, y no se ejerce a distancia según era el
supuesto ontológico de la teoría de la mecánica de Newton que dominaba la
imagen de naturaleza de esa época”[6].
Para elaborar una teoría establecida en esos
supuestos, Maxwell desarrolla métodos para la investigación en Física apoyado
en “el uso de las técnicas, la analogía entre dominios de
la Física, el método hipotético deductivo y el analítico. Maxwell finaliza sus indagaciones
en 1868 como dice Landau metiendo la teoría de los campos eléctricos y
magnéticos las que plasma en cuatro ecuaciones, constituyéndose en una teoría
en la cual la idea de campo adquiere significado físico. Esta teoría se basa en
la idea de que una carga eléctrica está rodeada por un campo eléctrico que se
extiende hasta el infinito, y que el movimiento de una carga eléctrica da
origen a un campo magnético que también tiene un alcance infinito. La teoría de
Maxwell se basa en las ideas de espacio y tiempo de la mecánica clásica que
describe la interacción entre partículas materiales mediante el concepto de
fuerza o de una energía potencial de interacción que aparece como una función
de las coordenadas espaciales de las partículas que interactúan y supone una
propagación instantánea de las mismas. Las fuerzas entre partículas dependen
sólo de las posiciones de las partículas en un instante de tiempo, de modo que
un cambio en la posición de cualquier partícula en interacción afecta
inmediatamente a las otras partículas. Maxwell encuentra que en el caso de las
interacciones electromagnéticas existe una velocidad límite para su
propagación, la velocidad de la luz. Por lo tanto, una mecánica basada en el
supuesto de la propagación instantánea de las interacciones parecía no ser del
todo correcta. En la teoría de la relatividad se parte de la idea que si en un
cuerpo en interacción ocurre un cambio, éste influirá sobre los otros cuerpos
después de transcurrido un intervalo de tiempo. Esto implica que existe una
velocidad de propagación de la interacción que determina el tiempo que
transcurre desde el momento en que un cuerpo experimenta un cambio y comienza a
manifestarse en otro”[7].
De la teoría de la relatividad de Einstein se deduce que “la velocidad de trasmisión de las interacciones es la misma en todos
los sistemas de referencia inerciales (sistemas donde se cumple el principio de
inercia de Newton) e igual a c = 2,99793 x 108 m/s, que a su vez, es la
velocidad de propagación de la luz. Como se puede ver esta teoría conserva la
idea de Maxwell que la interacción mutua entre las partículas se puede
describir mediante el concepto de campo de fuerzas, es decir, en vez de hablar
de la acción de una partícula sobre otra, afirma que una partícula crea un
campo en torno de ella, entonces una fuerza determinada actúa sobre cada una de
las otras partículas situadas en ese campo. En la mecánica clásica, el campo es
un modo de describir un fenómeno físico, en cambio en la teoría de la
relatividad, debido al valor finito de la velocidad de propagación de las
interacciones, las fuerzas que actúen sobre una partícula en un instante dado
no están determinadas por las posiciones de las demás en el mismo instante”[8]. Un
cambio en la posición de una de las partículas influye en las otras partículas
después de un intervalo de tiempo. Esto hace que en la relatividad el propio
campo gane realidad física. Así, no se puede discutir de una interacción
directa entre partículas colocadas a cierta distancia, sino se debe discutir,
de la interacción de una partícula con el campo y de la ulterior interacción
del campo con otras partículas (Landau,
1992; Einstein, 1995).
Sobre
el estudio de los conceptos en psicología cognitiva se han formulado varias investigaciones
con variadas metas, para establecer qué son, cómo se incorporan y para qué interesan. “En general, los conceptos se entienden
como representaciones mentales de clases (de situaciones, objetos, eventos,
individuos) que incluyen información de las instancias de la clase más
información adicional que se relaciona con la definición de la clase en
relación con otros conceptos, más información procedente de la percepción, de
la vivencia de experiencias, de las inferencias realizadas”[9].
Por
otra parte “Se
pone de manifiesto que las personas no utilizan un único tipo de representación
conceptual, sino distintos tipos en función de los significados del concepto,
del contexto y su nivel de conocimientos”[10]. En las creencias cognitivas constructivistas
como la de Piaget, una parte notable
de las representaciones son los “esquemas
que constituyen las unidades básicas del funcionamiento psicológico, pero las
representaciones, también están constituidas por otros elementos, como los
conceptos, sus relaciones entre éstos y su organización en teorías, que
constituyen un tipo de representaciones más elaboradas y explícitas, que a
diferencia de las representaciones personales, generalmente implícitas, buscan
eliminar las contradicciones”[11].
Los conceptos se generan a partir de la aplicación de los esquemas o
heurísticas, los cuales describen las regularidades que un estudiante encuentra
al aplicarlos, volviéndose una herramienta esencial del conocimiento (Delval, 1997) y que ayudan a la economía
cognitiva de los estudiantes.
En
la perspectiva de la investigación en educación, hoy día se considera
importante conocer cómo los estudiantes construyen los conceptos científicos,
qué prototipo de representaciones construyen, qué procesos cognitivos suceden,
y cómo asimilan y entienden sus significados, ya que esto permitiría conocer
los cambios cognitivos o de desarrollo conceptual como una construcción y segregación
de significados (Pozo,
1999; Moreira, 2000),
y orientar el diseño de estilos de enseñanza que admitan un buen aprendizaje. Para los fines de la educación, o
cómo hacer que el estudiante comparta significados en el contexto de las
ciencias, e interprete el mundo desde el punto de vista de las ciencias, creando
nuevas capacidades representacionales que hagan posibles nuevas formas de
conocimiento, que se alejen de la inmediatez de los conocimientos intuitivos (Moreira,
1998; Pozo y Gómez Crespo, 1998; Pozo,
2002), un aprendizaje significativo de conceptos científicos
básicos, tales como el concepto de campo vectorial, es una condición necesaria
para la formación científica de los estudiantes, la comprensión de los
fenómenos físicos y el conocimiento de principios que sostienen diversas
aplicaciones tecnológicas. Todo lo anteriormente, subraya la importancia del
aprendizaje del concepto de campo vectorial en los estudiantes.
Desde la perspectiva de algunas
investigaciones en educación matemática en los temas de campo vectorial
Con el propósito de conocer el estado de desarrollo de las
investigaciones en Educación Matemática sobre el aprendizaje y enseñanza del
concepto de campo vectorial, se revisaron y consultaron artículos publicados en
las principales revistas de investigación en educación; estas investigaciones
muestran diversidad de características y tendencias y se hacen referencias a
ellas por los títulos aparecidos en diferentes publicaciones; se puede deducir
que el trabajo realizado por los autores no se apoyó en los procesos de laboratorio
(observación, análisis, experimentación, comprobación, demostración), lo cual
se tiene en cuenta en esta investigación; sin embargo estas investigaciones
manifiestan pluralidad de características y tendencias muy interesantes:
Students reasoning about the superposition of electric field[12]
En este trabajo publicado por Viennot, L., Rainson, en 1992, plantean como objetivos, investigar
ideas de los estudiantes acerca del principio de superposición del campo
eléctrico, y los posibles obstáculos para el uso correcto de este principio;
nuestro interés es ver si el aprendizaje de un concepto implica, desarrollar
modelos mentales y esquemas, para resolver problemas a través de situaciones dadas,
entonces, la enseñanza formal acerca del concepto de campo, en el nivel
universitario lleva a los estudiantes a usar representaciones aisladas, sin
modelos ni esquemas.
En el experimento toman una muestra con estudiantes de Francia y Argelia
de primer y segundo año del curso de electrostática. Utilizaron tres
cuestionarios para que fueran respondidos de forma convencional (lápiz y
papel). En las tres actividades aplicadas les interesa detectar el conocimiento
de los estudiantes acerca de principio de superposición de campos eléctricos y
ley de Gauss del comportamiento en la
presencia de un material aislador.
Como resultado obtienen que el 80% de las respuestas son incorrectas,
con comentarios que evidencian un mal uso de la Ley de Gauss, e incomprensión del comportamiento del campo eléctrico en un
material aislador. Un importante porcentaje de respuestas correctas explican la
existencia del campo en un punto
ligada a la presencia necesaria de cargas en ese punto.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes se evidencian razonamientos lineales,
donde la influencia simultánea de varios factores, es tratada como una
secuencia de eventos causales.
Mechanics background influences student conceptions in electromagnetism[13]
En esta investigación realizada por Galili, I. en 1995, propone Identificar
e interpretar algunas dificultades específicas de estudiantes secundarios y
nivel superior al estudiar electromagnetismo, bajo la hipótesis que los errores parecen estar
relacionados con las concepciones alternativas de la mecánica. Se plantea como
una investigación diagnóstica de aplicación de conceptos de mecánica en el
movimiento de cargas en campos electromagnéticos.
En el experimento toman una muestra estratificada de
estudiantes; lo que nos parece interesante ya que podemos estratificar a los
estudiantes mediante una prueba diagnóstica. Utilizaron un cuestionario con
tareas de diferente nivel y dificultad cualitativa presentada en forma
aleatoria para que fuera respondido en 45 minutos de manera convencional (lápiz
y papel). En las tareas les interesa conocer la trayectoria de una carga
negativa colocada en el campo eléctrico de una carga puntual positiva,
identificar el diagrama correcto que representa la abertura angular de un conjunto
de péndulos cargados positivamente, identificar cada una de las fuerzas que
actúan sobre cada cuerpo para una configuración de una carga puntual positiva
encerrada por una esfera conductora frente a una carga positiva, Identificar
las fuerzas sobre cada elemento para una carga puntual colocada entre las
placas de un condensador plano, identificar la fuente de energía cinética y
explicar el papel del campo eléctrico, identificar las fuerzas sobre cada
componente, y aplicar la tercera ley de Newton,
y describir el papel del campo magnético, en la situación de una barra
conductora moviéndose en un campo magnético uniforme.
Como hallazgos obtienen que la mayoría de los estudiantes dibuja una
trayectoria rectilínea dirigida a la carga, o una trayectoria paralela a la
línea de fuerza, un tercio de los estudiantes identifica un desplazamiento
angular simétrico, un tercio no responde y el otro tercio responde
incorrectamente, la mayoría de los estudiantes responde incorrectamente con
fuerzas simétricas, no incluye interacción entre las cargas, o una interacción
reducida, el 7 % responde con simetrías que incluye las correctas y ausencia de
fuerzas sobre las caras interna o externa del cascarón, los estudiantes
evidencian incredulidad de que las interacciones aprendidas en mecánica
mantengan su forma en electromagnetismo, explican que el campo incrementa la
energía cinética de una carga a expensas de su intensidad, pero no comprenden
la necesidad de un agente externo como una fuente de energía.
Las conclusiones de este autor fueron que al analizar las explicaciones
de los estudiantes se identifica como una dificultad para la enseñanza del
electromagnetismo la aplicación de los conceptos, leyes y principios de la
mecánica en el movimiento de cargas en campos electromagnéticos, en particular
las relaciones entre fuerza y movimiento, y entre trabajo y energía, la
introducción del concepto de campo a partir de su definición operacional afecta
la comprensión y evidencia problemas de aprendizaje de la mecánica, quizás por
el cambio en el tratamiento de la interacción. Se propone introducir cambios en
la enseñanza tales como: Introducir discusiones sobre la evolución histórica
del concepto de campo. Usar preguntas cualitativas de situaciones físicas
simples. Introducir el concepto de campo durante la enseñanza de la mecánica.
Introducir este tópico como una parte del curriculum y entrenamiento de los
profesores.
M. The kinds of mental representation-models, propositions and images- used by college physics studentsregarding the concept of field[14]
Estos autores GRECA, I., MOREIRA,
M. A. en 1997, plantearon como objetivo investigar el nivel de
representación que operan los estudiantes en relación al concepto de campo
electromagnético cuando resuelven problemas y cuestiones, bajo la teoría de Johnson-Laird; nos parece muy
interesante ya que a través de actividades pediremos a los estudiantes que
resuelvan problemas, usando representaciones mentales y esquemas como lo
propone Vergnaud.
En este trabajo toman una muestra estratificada con estudiantes de
Ingeniería de 2º año, lo que nos parece adecuado ya que en el mismo, después de
aplicar a actividad diagnóstica, se estratificara a los estudiantes. Utilizaron anotaciones, pruebas, exámenes, mapas
conceptuales, entrevistas.
Como resultado obtienen que se determinan 6 categorías de alumnos con
las siguientes características: 3 categorías de alumnos que no forman un modelo
físico del concepto de campo electromagnético. 1 categoría de transición de
alumnos que desarrollan algún modelo mental físico del concepto aunque no
siempre es correcta científicamente. 2 categorías de alumnos que construyeron
un modelo mental físico del concepto.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes las representaciones mentales definidas
por Johnson-Laird son importantes
para describir el aprendizaje de la Física. Si las personas razonaran a partir
de modelos mentales sería posible reinterpretar el movimiento de concepciones
alternativas y cambio conceptual. Sería posible la construcción por parte de
los estudiantes de un nuevo modelo de trabajo que estaría en parte anclado
en modelos antiguos. Los modelos
intuitivos pueden ser un modelo hipotético del mundo construido para
interpretar la realidad, y el modelo científico compartido será otro de ellos,
existiendo una diseminación de modelos. Es preciso que un estudiante comprenda
las teorías científicas como un modelo diferente al suyo de ver el mundo, con
reglas propias, operaciones y conceptos. Aprender el marco conceptual de una
teoría, implica generar una representación interna del mismo.
Modelos
mentales y aprendizaje de física en electricidad y magnetismo[15]
En este trabajo publicado por Greca, I., Moreira, M. en 1998, plantean como objetivo ensayar una
categorización introductoria para detectar el tipo de representación mental de
estudiantes de 1er año universitario al resolver y responder cuestiones de
electricidad y magnetismo bajo el marco de la teoría de modelos mentales de Johnson-Laird; esta investigación está
orientada a identificar los modelos mentales que usan las personas para
resolver problemas; dicha estrategia se adapta al procedimiento por
representaciones mentales bajo la postura de Vergnaud tal como se propone en esta investigación.
En esta investigación se toma una muestra de
estudiantes de un curso de Física General para ingeniería que estudian por
primera vez el concepto de campo electromagnético. Utilizaron anotaciones de
campo, trabajos prácticos y evaluaciones.
Los resultados de ésta investigación destaca, que los estudiantes
construyen modelos mentales simples en acuerdo con sus conocimientos del mundo
físico, y que la expansión del conocimiento en un dominio es por asimilación y
acomodación del nuevo conocimiento en modelos más sofisticados.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes que si las personas razonan a partir de
modelos mentales sería posible reinterpretar el movimiento de concepciones alternativas
y cambio conceptual lo que implicaría la construcción en los estudiantes de un
nuevo modelo de trabajo que estaría en parte anclado en sus modelos antiguos.
Los modelos intuitivos pueden ser un modelo hipotético del mundo construido
para interpretar la realidad, y el modelo científicamente compartido sería otro
de ellos, existiendo una diseminación de modelos. Es preciso que el estudiante
comprenda las teorías científicas como un modelo diferente al suyo, como una
forma de ver el mundo con reglas propias, operaciones y conceptos. Los
estudiantes deben aprender el marco conceptual de la teoría generando una
representación interna del mismo.
Difficulties in
learning the concept of electric field[16]
Esta investigación
realizada por Furió, C., Guisasola, J.
en 1998, tuvo como objetivo analizar dificultades de aprendizaje del concepto de
carga y campo electrostático y analizar si existe paralelismo entre las
dificultades de aprendizaje y los problemas epistemológicos que hubo que
superar en la historia del electromagnetismo.
En el experimento toman una muestra de estudiantes de secundaria y
universitarios. Utilizaron un cuestionario de 8 preguntas abiertas de
interpretación, explicación de fenómenos relacionados con cuerpos cargados,
inducción, polarización, jaula de Faraday,
y la evaluación de su aprendizaje. Se utilizó la entrevista estructurada a estudiantes.
Como resultado obtienen que la mayoría de los estudiantes asumen la
naturaleza eléctrica de la materia, y explican los fenómenos usando un modelo
hidrostático de carga eléctrica y conocimiento procedimental de sentido común.
La mayoría de los estudiantes no utiliza el concepto de campo eléctrico para
explicar fenómenos como la inducción, polarización y jaula de Faraday. Sólo una mínima parte evidencia
comprensión y aplicación significativa del concepto de campo para explicar
fenómenos electrostáticos.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes muy pocos de enseñanza secundaria y
universitaria utilizan de forma significativa el concepto de campo eléctrico, no
establecen una diferencia entre los conceptos de campo y fuerza eléctrica, y en
situaciones que requieren una aplicación significativa del concepto de campo
los porcentajes de respuestas erróneas aumenta. Se confirma que parece existir
un paralelismo entre los problemas de aprendizaje y los problemas
epistemológicos históricos de construcción de la teoría.
Models of magnetism[17]
En este trabajo publicado por Borges,
A. T., Gilbert, J .K, en 1998 se plantearon como objetivo identificar
modelos mentales que usan las personas para pensar acerca del magnetismo y las
relaciones entre electricidad y magnetismo.
En el experimento toman una muestra estratificada de estudiantes de
secundaria sin y con estudios en el tema, estudiantes de enseñanza técnica, con
estudio previo de un año en el tema, profesores de Física de escuelas
secundarias, técnicos con estudios no formales en el tema e ingenieros
eléctricos. Se realizó entrevistas semiestructuradas que involucran situaciones
de electricidad, magnetismo y electromagnetismo, construidas en torno a una
secuencia de predicción, observación y explicación.
Como resultado obtienen que se identifica la construcción de 5 modelos
de magnetismo con diferentes características: Modelo A: Magnetismo como
atracción. El magnetismo es visto como una atracción ejercida sobre los objetos
en la región que rodea a un imán, como una propiedad intrínseca de los imanes.
Modelo B: Magnetismo como una nube. El magnetismo es una nube con una esfera de
influencia alrededor de un imán. Modelo C: Magnetismo como electricidad. El
magnetismo es visto como entre cargas eléctricas fuertemente ligadas a la
atracción y repulsión entre cargas. Modelo D: Magnetismo como polarización
eléctrica. Los fenómenos son explicados asumiendo que un imán está formado por
un arreglo de pequeños dipolos eléctricos. Modelo E: Modelo de campo. Es un
agregado de los modelos B, C y D. El magnetismo es la manifestación
macroscópica del fenómeno microscópico de partículas eléctricas en movimiento
en los átomos (microcorrientes), o la existencia de imanes elementales (dipolos
magnéticos permanentes en el interior del material).
Ellos concluyen, al analizar las explicaciones de los estudiantes, que la
gente construye modelos mentales simples de acuerdo con los conocimientos del
mundo físico. La expansión del conocimiento en un dominio es por asimilación y
acomodación del nuevo conocimiento en modelos más sofisticados. Los diferentes
modelos de magnetismo construidos por los estudiantes son una evidencia de los
efectos de la instrucción. El alto número de respuestas explicativas del
magnetismo en términos de electricidad podría estar en las personas que tienen
un mayor número de experiencias directas con la electricidad que con el
magnetismo, lo que puede ser un indicador de la influencia cultural en la
construcción de modelos mentales.
Design and evaluation of research-based teaching sequence: the superposition of electric field[18]
En este experimento Viennot, L.,
Rainson, S. en 1999 se plantean como objetivo presentar el diseño y
evaluación de una secuencia de enseñanza del principio de superposición del
campo eléctrico. La secuencia se diseña sobre la base de dos estudios
interrelacionados: Un análisis de contenido de dominio y una investigación de
formas de razonamiento común.
En el experimento toman una muestra de estudiantes de
Francia, Suecia y Argelia, de diferentes niveles académicos, desde 11º grado a
los últimos años universitarios. Se hicieron entrevistas preliminares y se utilizaron
tres cuestionarios para que fueran respondidos de forma convencional (lápiz y
papel). En las actividades aplicadas les interesa conocer la dificultad de
aceptar la existencia de un campo eléctrico en un medio donde las cargas están
inmóviles.
Como resultado obtienen que los estudiantes Ignoran las fuentes del
campo eléctrico cuando este no es dado por una fórmula matemática y que se les dificulta
aceptar la existencia de un campo eléctrico en un medio donde las cargas están
inmóviles.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes la causalidad en el razonamiento parece no
ser la única fuente de dificultad en la comprensión de los estudiantes, sino
también el contenido y el formalismo matemático sintético. Solo cuando los
aspectos causales han sido enfatizados en la enseñanza se observa progresos en
la comprensión del principio de superposición y su influencia en diversos
fenómenos.
Mental models, conceptual models, and modeling[19]
Este trabajo publicado por Greca,
I., Moreira, M. en el 2000, plantean como objetivos revisar los conceptos
de modelo mental, modelo conceptual y modelación y proporcionar un punto de
vista de lo que son estos conceptos en el contexto de la psicología cognitiva y
el aprendizaje, y cómo pueden ser usados en la investigación en educación en
ciencias; lo anterior se acomoda al procedimiento por representaciones mentales
bajo la postura de Vergnaud para
resolver problemas la cual se tiene en cuenta en esta investigación.
En este experimento no utilizaron una muestra en particular. Hicieron
una revisión en profundidad de la teoría de representaciones mentales, y de
cómo las personas se representan el mundo físico.
Como resultados obtienen que la presentación de una fundamentada
distinción entre el enfoque teórico de Johnson-Laird
de los modelos mentales, y los modelos de Gentner
y Stevens de aproximación instruccional; la teoría de Johnson-Laird ofrece una descripción unificada y explicativa de
fenómenos cognitivos tales como, razonamiento deductivo y comprensión del
discurso; a diferencia de otros autores que focalizan su atención en fenómenos
físicos particulares, dispositivos mecánicos y/o tecnológicos que desarrollan
las personas sin intentar una representación y teoría unificada de ellos; que los estudiantes construyen modelos
mentales simples en acuerdo con sus conocimientos del mundo físico, y que la
expansión del conocimiento en un dominio es por asimilación y acomodación del
nuevo conocimiento en modelos más sofisticados.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes los modelos mentales permiten entender la
resistencia al cambio de las concepciones previas, ya que éstas, ayudan a
explicar grupos de fenómenos y visualizarlos como similares. Por su carácter
funcional, si los modelos iniciales son útiles, su modificación como un
reemplazo total de una concepción por otra no es una tarea simple. Por el
carácter idiosincrático de los modelos mentales, la modelación puede ser un
camino adecuado para el aprendizaje significativo en ciencias. Los modelos
mentales son una vía interesante para investigar heurísticas de imágenes y
simulaciones mentales en procesos de creación y comprensión de teorías
científicas, y también presentan un potencial pedagógico; estamos totalmente de
acuerdo con esta postura de los autores, ya que a través de los esquemas de Vernaud se pretende algo semejante.
La enseñanza del concepto de campo eléctrico basado en un modelo de aprendizaje como investigación orientada[20]
En este trabajo publicado por Furió,
C., Guisasola, J. en el 2001, plantean como objetivo presentar una
propuesta de enseñanza, basada en el modelo de aprendizaje como investigación
orientada para superar dificultades de enseñanza y aprendizaje del concepto de
campo eléctrico.
En el experimento toman una muestra de estudiantes de Bachillerato.
Utilizaron un programa actividades de aprendizaje sobre los conceptos y teoría
de carga y campo electrostático y pruebas escritas de interpretación de
diferentes situaciones problemáticas planteadas a los grupos de trabajo y
grabación de la discusión de los alumnos en los grupos de trabajo.
Como resultado obtienen que la gran mayoría de los grupos de trabajo
interpreta correctamente una situación problemática de inducción y que utilizan
en su explicación el concepto de campo eléctrico y utilizan el modelo de acción
a distancia y que los estudiantes muestran satisfacción con los contenidos y la
forma de trabajo.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes que la aplicación de una instrucción como
una investigación orientada, permite a los estudiantes una mayor asimilación de
ideas significativas en un porcentaje mayor que los alumnos que reciben una
enseñanza transmisora y que presentan una mejora en la forma de plantear y
razonar las situaciones problemáticas en base al concepto de campo eléctrico, y
en la aplicación del concepto obtienen resultados correctos, con diferencias
estadísticamente significativas.
Diseño y evaluación de una
propuesta para la enseñanza del concepto de campo en física[21]
En este trabajo
publicado por Martín, J. Solbes, J.
en el 2001, plantean como objetivo el diseño y evaluación de una propuesta para
la enseñanza del concepto de campo en educación secundaria, basada en un
análisis de resultados de investigaciones previas sobre las dificultades de
enseñanza.
En el experimento toman una muestra con estudiantes y profesores
pertenecientes a diferentes localidades. Utilizaron actividades orientadas a la
introducción del concepto de campo (gravitatorio y eléctrico), y presentación
de éste concepto como agente de la interacción, dotado de realidad física,
energía y momentum.
Como resultado obtienen que los alumnos del grupo experimental en
relación con el grupo control adquieren una imagen del concepto de campo más
cercana a la concepción científica que se evidencia en porcentajes altos de
respuestas correctas y que reconocen la necesidad de introducir el concepto de
campo para explicar la interacción entre dos cuerpos, y reconocen ventajas para
explicar la naturaleza de las ondas electromagnética y mejoran su
interpretación de los aspectos energéticos de la interacción entre cuerpos
usando el concepto de campo; nosotros no utilizaremos grupos control y
experimentales, ya que vamos a trabajar con la población.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes la utilización en el aula de programas de
actividades mejora el aprendizaje de los conceptos de campo gravitatorio y
eléctrico y que se interpretan las dificultades en el aprendizaje y comprensión
del concepto de campo gravitatorio y electromagnético como una consecuencia de
un tratamiento didáctico deficiente y confuso.
Students alternative conceptions and scientifically acceptable conceptions about gravity[22]
En este trabajo publicado por Palmer,
D. en el 2002, plantea como objetivo identificar en estudiantes
concepciones alternativas y concepciones aceptables científicamente sobre
gravedad, e investigar su naturaleza y posibles relaciones entre ellas. Ellos toman una muestra con estudiantes de 6º y 10º
grado de Australia. Hicieron entrevistas individuales de 15 min. En las
situaciones planteadas les interesa conocer explicaciones relacionadas con el
concepto de gravedad, y cómo deciden sus respuestas; en nuestro trabajo el cual
estará supervisado por un tutor de la Universidad Antonio Nariño, utilizaremos
videos, fotografías, y las explicaciones de los estudiantes a través de las
actividades desarrolladas por ellos y se les dará información pertinente cuando
se requiera.
Como resultado obtienen que la mayoría de los estudiantes despliega
ambos tipos de concepciones acerca de la gravedad, científicamente aceptables y
concepciones alternativas, que el 29 % de estudiantes de 10º grado y el 11% de
6º grado evidencia únicamente concepciones científicamente consistentes acerca
de la gravedad. El 71 % de estudiantes de 10º grado y el 89 % de 6º evidencian
concepciones múltiples, alternativas y científicamente correctas y que las
afirmaciones de los estudiantes en sus respuestas evidencian percepciones de
relaciones entre gravedad y contexto.
Las conclusiones más relevantes de estos autores fueron que al analizar
las explicaciones de los estudiantes las principales concepciones identificadas
de mayor frecuencia en orden decreciente son: la gravedad actúa hacia abajo
sobre objetos en caída, la gravedad no actúa sobre objetos que se mueven
verticalmente hacia arriba, la gravedad actúa hacia abajo sobre objetos en
reposo, la gravedad no actúa sobre objetos en reposo, la gravedad actúa hacia
arriba sobre objetos moviéndose hacia arriba, la gravedad actúa hacia abajo
sobre objetos que se mueven verticalmente hacia arriba, la gravedad no actúa
sobre objetos en caída, la caída se debe al peso.
Además postularon que la mayoría de las respuestas de los estudiantes,
en ambos grados fueron contextualmente dependientes de sus ideas acerca de la
gravedad. Se identifican concepciones alternativas en igual proporción en ambos
grupos, lo que implicaría formas comunes de pensamiento en la población y gran
sobrevivencia en la enseñanza de las ciencias.
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