GUÍA
DE CÁTEDRA DE CÁLCULO MULTIVARIADO
INFORMACIÓN GENERAL
FACULTAD: BASICAS
PROGRAMA
(CARRERA):
INGENIERIA
AREA: MATEMATICAS
NOMBRE
DE LA ASIGNATURA: CÁLCULO MULTIVARIADO
MODALIDAD: PRESENCIAL
JORNADA: DIURNA Y
NOCTURNA
HORARIO:
SALÓN:
FECHA
DE INICIACIÓN:
FECHA
DE TERMINACIÓN:
NOMBRE
DEL DOCENTE:
E-MAIL:
PREGRADO:
POSTGRADO:
JUSTIFICACIÓN
El cálculo multivariado es una
herramienta muy útil para el ingeniero, ya que optimiza modelos funcionales en
los cuales el valor de una cantidad puede depender de dos o más valores,
convirtiéndolo así en un instrumento matemático ideal que permite comprender,
plantear y solucionar problemas relacionados con áreas, volúmenes, trabajo,
flujos (de fluidos, campos magnéticos y eléctricos, campos gravitacionales,
masa, etc.). En este curso se estudian los conceptos del cálculo diferencial e
integral que se trabajaron en funciones de valor real, generalizados a espacios
euclidianos (llamados campos escalares y vectoriales).
Su importancia radica en la variedad de
aplicaciones que los campos vectoriales tienen en ingeniería, las cuales se
presentan en asignaturas como electromagnetismo o mecánica de fluidos, que
estructuran y capacitan a los estudiantes para su desempeño profesional.
Por lo tanto, se debe dotar a los
estudiantes de ingeniería, de las herramientas que les permitan desarrollar la
capacidad de análisis, planteamiento y solución de problemas reales, que
requieran el manejo del cálculo diferencial e integral en varias variables.
ESTRATEGIAS
/ ORGANIZACIÓN / TIEMPOS
La metodología
del curso requiere que el estudiante realice la lectura previa de cada tema de
clase. El docente, al iniciar la semana de clases evaluará la lectura previa, hará
preguntas orales, sobre los temas a tratar para después ser desarrollados y aclarados
por el docente utilizando como ayuda didáctica el tablero, el texto y las
actividades de clase. Cada tema estará acompañado de una exposición interactiva
y suficientes ejemplos de aplicación de manera que aclaren el porqué de los
conceptos teóricos leídos y explicados. Se buscará una alta participación de
los estudiantes a través de las actividades realizadas en la clase y fuera de
ella, las cuales tendrán relación directa con los temas tratados en el curso,
haciendo uso de la lectura previa y de la tecnología. De igual forma se propone
la realización de discusiones grupales en torno a problemas específicos
realizando evaluaciones periódicas con el fin de llevar el seguimiento
constante sobre los progresos y dificultades en el proceso formativo del estudiante.
Los
estudiantes podrán disponer de espacios para asesoría por parte del profesor en
los casos que así lo requieran.
El espacio académico contempla horas de
trabajo directo, trabajo colaborativo y trabajo autónomo; las temáticas se
desarrollarán por unidades programadas por semana; el trabajo directo se
realizará a partir de sesiones interactivas del docente, que permitan el
planteamiento de situaciones y problemas y su posible solución práctica. La
práctica en laboratorio (trabajo colaborativo), será abordada grupalmente y
desarrollará temáticas y/o el tratamiento de situaciones y problemas
previamente establecidos, con el acompañamiento del docente. El
estudiante desarrollará el trabajo autónomo de acuerdo con criterios
previamente establecidos en términos de contenidos temáticos y problemas planteados. Se le entrega al estudiante
el sistema de actividades de cada unidad temática.
Trabajo
Directo (TD): Se
desarrollará por parte del docente en clase interactiva presencial los
contenidos mínimos del curso.
Trabajo
Colaborativo (TC): Se desarrollarán semanalmente 2 horas de
clase alrededor de las temáticas trabajadas en la semana. Se sugiere
desarrollar 2 o 3 proyectos a lo largo del semestre. En este espacio se espera
que el docente oriente a los estudiantes
en el desarrollo de su proyecto, resolviendo dudas, planteando inquietudes
entorno a la temática del proyecto.
Trabajo
Autónomo (TA): Trabajo del estudiante sin presencia del docente, que se
puede realizar en distintas instancias: en grupos de trabajo o en forma
individual, en casa o en biblioteca, laboratorio, etc.)
INFORMACIÓN
ACADÉMICA DE LA ASIGNATURA
OBJETIVO
GENERAL
Proporcionar herramientas que permitan
al estudiante de ingeniería analizar, plantear
y resolver modelos que requieren el manejo de varias variables
independientes en forma simultánea, a partir de la comprensión de los conceptos
básicos: de derivada e integrales de campos escalares y vectoriales, en
diferentes situaciones que se presentan en ingeniería
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
1.
Fundamentar en los estudiantes el
concepto de espacio vectorial tridimensional, resaltando sus propiedades y
resultados importantes que luego serán usados en temas específicos posteriores.
2.
Identificar las dos clases de funciones
que se presentan en el cálculo multivariado, como son: las funciones escalares
y las funciones vectoriales, mostrando primero las generalidades y propiedades
de las funciones cuyos contradominos son vectores.
3.
Conceptualizar las funciones de más de
una variable independiente y sus propiedades a partir del conocimiento que trae
el estudiante de su curso de cálculo diferencial en lo que se refiere a
dominios, límites, derivadas y valores extremos para funciones de una variable
independiente.
4.
Adquirir habilidad en el manejo del
cálculo de integrales dobles, integrales triples, integrales de línea e
integrales de superficie haciendo uso de los diferentes métodos de integración
que aprendió en su curso anterior y aplicarlo a la solución de problemas.
5.
Proporcionar una conexión entre el
cálculo vectorial y el análisis de funciones de varias variables relacionando
los tres grandes teoremas de cálculo vectorial con las integrales múltiples de
las funciones escalares, como por ejemplo lo es, el teorema de Green e integral
de línea con integrales dobles y así entender y resolver problemas que se presentan
en el desempeño de su formación ó en áreas afines.
COMPETENCIAS DE FORMACIÓN:
General:
Se
espera que a través del curso el estudiante
domine e interprete el lenguaje
matemático, desarrolle competencias genéricas instrumentales que le
permitan diseñar, resolver y expresar situaciones que se presentan en su vida
cotidiana y en el entorno profesional.
Específicas:
Al
finalizar el curso el estudiante:
1. Identifica
y grafica las diferentes superficies en el espacio, como también reconoce las propiedades
fundamentales del espacio vectorial tridimensional.
2. Argumenta
y justifica las funciones vectoriales mediante problemas prácticos y teóricos
específicos de las diferentes áreas de actividad de su profesión, usando
lenguaje y simbología apropiada para las representaciones que requiera.
3. Reconoce
y aplica las diferentes propiedades de las funciones de varias variables en lo
que se refiere al análisis de derivadas parciales y diferenciales en
situaciones o problemas que describen variaciones y cambios.
4. Desarrolla
habilidades y destrezas que le permiten, mediante el razonamiento, el análisis
y la reflexión resolver los diversos modelos de integrales múltiples tratados
en el curso.
5. Relaciona
el concepto de integración múltiple con los teoremas más importantes del
cálculo vectorial para aplicarlo en las otras áreas del conocimiento y en su
campo profesional.
PROGRAMA
SINTÉTICO:
Unidades Temáticas
I.
Geometría en el espacio
1. Coordenadas rectangulares tridimensionales,
la esfera.
2. Producto escalar, Producto vectorial.
3. Rectas y planos en el espacio.
4. Superficies cuádricas y cilindros.
5. Conceptos básicos de topología en el
espacio.
II. Funciones Vectoriales
1. Funciones vectoriales, álgebra, limites,
continuidad, curvas en el espacio.
2. Derivadas e integrales.
3. Movimiento en el espacio: velocidad,
aceleración, rapidez.
4. Longitud de curva, vector tangente unitario.
III. Funciones Escalares
1. Funciones de varias variables: dominio,
rango, curvas y superficies de nivel.
2. Límites y continuidad.
3. Derivadas parciales, derivadas parciales de
orden superior, derivación implícita, regla de la cadena.
4. Derivadas direccionales, vector gradiente,
diferenciabilidad, plano tangente y recta normal.
5. Valores extremos, multiplicadores de Lagrange.
IV.
Integrales múltiples
1. Integrales dobles en coordenadas
rectangulares, iteradas, área, volumen.
2. Cambio de variables en integrales dobles
(Integrales en coordenadas polares, aplicaciones).
3. Integrales triples en coordenadas
rectangulares, aplicaciones.
4. Cambio de variables en integrales múltiples
(Integrales en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas,
aplicaciones).
V.
Cálculo vectorial
1. Campos vectoriales, campos gradientes, trabajo, rotacional, divergencia.
2. Integral de línea, campos conservativos,
integral de trabajo, teorema fundamental de integrales de línea.
3. Teorema de Green.
4. Integrales de superficie, Teorema de la
divergencia o de Gauss.
5. Teorema de Stokes
PROGRAMA
COMPLETO:
Semana
|
Unidades y temáticas
|
1
|
Coordenadas rectangulares tridimensionales, la
esfera,
Producto escalar, Producto vectorial
|
2
|
Rectas y planos en el espacio.
Superficies cuádricas y cilindricas
|
3
|
Conceptos básicos de topología en el espacio.
Funciones vectoriales, álgebra, limites,
continuidad,
Curvas planas y
ecuaciones paramétricas, derivación e integración de paramétricas, longitud
de arco y superficies de revolución.
Curvas en el espacio.
|
4
|
Derivadas e integrales.
Movimiento en el espacio: velocidad, aceleración,
rapidez.
Longitud
de curva, vector tangente unitario.
|
5
|
Funciones de varias variables: dominio, rango,
curvas y superficies de nivel.
Limites y continuidad
|
6
|
Derivadas parciales, derivadas parciales de orden
superior, derivación implícita, regla de la cadena
|
7
|
Derivadas
direccionales, vector gradiente, diferenciabilidad, plano tangente y recta
normal.
|
8
|
Valores extremos, multiplicadores de Lagrange.
|
9
|
Integrales dobles en coordenadas rectangulares, iteradas, área, volumen.
|
10
|
Cambio de variables en integrales dobles. Coordenadas Polares. Secciones
cónicas en polares. Integración en coordenadas polares.
|
11
|
Integrales triples en coordenadas rectangulares, aplicaciones
Cambio
de variables en integrales múltiples (Integrales en coordenadas cilíndricas y
en coordenadas esféricas, aplicaciones).
|
12
|
Campos vectoriales, campos gradientes, trabajo, rotacional, divergencia.
|
13
|
Integral de línea, campos conservativos, integral de
trabajo, teorema fundamental de integrales de línea.
|
14
|
Teorema de Green
|
15
|
Integrales de superficie, Teorema de la divergencia
o de Gauss
|
16
|
Teorema de Stokes
|
RECURSOS
Medios y Ayudas: El curso requiere de
espacio físico (aula de clase); Recurso docente, recursos informáticos (página
de referencia del libro, CD de ayuda del mismo, Recursos bibliográficos y
computadores (salas de informática) y un sistema de actividades por cada unidad
temática.
Practicas específicas: Laboratorios
sobre temáticas del curso a través de alguna herramienta informática.
BIBLIOGRAFÍA:
TEXTOS
Guías
FINNEY,
THOMAS. Cálculo de varias variables. Editorial Addison-Wesley. Undécima
edición.
TEXTOS COMPLEMENTARIOS
[1] LARSON,
RON. Cálculo II. Editorial Mc Graw Hill, octava edición.
[2] STEWART,
JAMES. Cálculo Multivariado. Editorial Thomson.
[3] APOSTOL,
TOM. Cálculo. Editorial Reverté.
[4] TROMBA,
ANTHONY, Cálculo Vectorial. Editorial Addison-Wesley.
[5] LEITHOLD,
LOUIS. El
Cálculo con geometría analítica. Editorial Harla.
[6] SWOKOWSKI,
EARL. Cálculo con geometría analítica. Editorial
Iberoamericana.
[7] PURCELL VARBERY RIGDON. Cálculo. Editorial Pearson, 2000
REVISTAS
DIRECCIONES DE INTERNET
www.matematicas.net
ASPECTOS A EVALUAR DEL CURSO
1.
Evaluación del desempeño docente
2.
Evaluación de los aprendizajes de
los estudiantes en sus dimensiones: individual/grupo,
teórica/práctica,
oral/escrita.
3.
Autoevaluación.
4.
Coevaluación del curso: de forma
oral entre estudiantes y docente
FIRMA
DEL PROFESOR
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